توضیح و راهنما: در این فایل، مجموعه نگرش‌ها، زیرنگرش‌ها و ریزِ نگرش‌ها جمع‌آوری و مرتب شده‌است، به‌طوری که بتوان از آن در تهیه یک مجموعه از این‌ها استفاده کرد و برای برچسب‌گذاری بعدی بهره برد. فایل دارای چهار قسمت است: ابتدا عنوان جریان‌های کلی نگرشی آورده شده‌است (بخش نگرش‌ها). سپس به‌سراغ زیرنگرش‌ها رفته‌ایم (بخش زیرنگرش‌ها) و زیرنگرش‌ها را با توجه به این‌که مربوط به کدام جریان نگرشی کلی هستند مرتب کرده‌ایم. سپس ریزِنگرش‌ها (جزئی‌تر) را آورده‌ایم (بخش فهرست ریزِ نگرش‌ها) و مشخص کرده‌ایم هرکدام از این ریزِ نگرش‌ها مربوط به کدام جریان نگرشی کلی است. در پایان (بخش دسته‌بندی ریزِ نگرش‌ها) دسته‌بندی جزئی‌تری از ریزِ نگرش‌ها آورده‌ایم و علاوه بر این‌که مشخص کرده‌ایم هرکدام از این ریزِ‌ نگرش‌ها مربوط به کدام جریان کلی نگرشی است (که در بخش فهرست ریزِ نگرش‌ها انجام شد)، مشخص کرده‌ایم هر ریزِ نگرش، مربوط به کدام زیرنگرش‌های آن جریان است. حال راجع به برچسب‌های اختصاری استفاده‌شده در این فایل برای این نگرش‌ها، زیرنگرش‌ها و ریزِ نگرش‌ها، توضیحاتی می‌آوریم: به‌طور کلی حرف P برای مشخص کردن نگرش (و موارد مرتبط با آن) در همه برچسب‌های این فایل مورد استفاده قرار گرفته‌است. در برچسب‌گذاری جریان کلی نگرشی که تعداد آن‌ها ده‌تا است، بعد ازحرف P از اعداد یونانی i تا x استفاده کرده‌ایم. در برچسب‌گذاری زیرنگرش‌ها بعد از حرف P و این اعداد یونانی (که مشخص‌کننده جریان نگرشی کلی مربوط به آن زیرنگرش است)، از اعداد انگلیسی 1 تا ... استفاده کرده‌ایم. و اما برای برچسب‌گذاری ریزِ نگرش‌ها: در بخش فهرست ریزِ نگرش‌ها که دسته‌بندی آن‌ها فقط بر اساس جریان کلی نگرشی مربوطه است، بعد از حرف P و اعداد یونانی مربوط به آن جریان نگرشی کلی، از حروف انگلیسی a تا ... به‌ترتیب استفاده کرده‌ایم (در مواردی که تعداد ریزِ نگرش‌ها بیش‌تر از ۲۶ تا بوده، این برچسب حرفی، به‌جای یک حرف دوحرفی شده‌است). و در بخش دسته‌بندی ریزِ نگرش‌ها که هم بر اساس جریان نگرشی کلی و هم بر اساس زیرنگرش مرتبط دسته‌بندی شده‌اند، برچسب‌گذاری ریزِ نگرش‌ها به این شکل انجام شده‌است: ابتدا حرف P و سپس یک عدد یونانی مربوط به جریان کلی نگرشی، سپس عدد انگلیسی مربوط به زیرنگرش مرتبط، بعد حرف انگلیسی مورد استفاده در بخش فهرست که ریزِ نگرش توسط آن مشخص شده بود، و در پایان یک عدد بین 1 تا 4 که این عدد مشخص‌کننده پایه تحصیلی مربوطه است. راجع به این عدد توضیح دهیم که 1 برای پایه «پیش‌دبستانی تا دوم»، 2 برای پایه «سوم تا پنجم»، 3 برای پایه «ششم تا هشتم» و 4 برای پایه «نهم تا دوازدهم» استفاده شده است. راجع به برچسب‌های اختصاری استفاده شده در این فایل این توضیح را اضافه کنیم که همه برچسب‌ها بجز برچسب‌های مربوط به ریزِ نگرش‌ها در بخش دسته‌بندی ریزِ نگرش‌ها، با استفاده از سیستم شماره‌گذاری اتوماتیک نرم‌افزار word ایجاد شده‌اند، و برچسب‌های مربوط به ریزِ نگرش‌ها در بخش دسته‌بندی ریزِ نگرش‌ها به‌صورت دستی تایپ شده‌اند، بعد از این برچسب‌ها برای جدا کردنشان از عنوان ریزِ نگرش از یک کاراکتر tab استفاده شده‌است، ضمنا بگوییم که در این قسمت برای item بندی ریزِ نگرش‌ها از نقطه (bullet) استفاده کرده‌ایم.

1. ریاضیات توان‌مندی فرد را در مهارت‌های برقراری ارتباط پرورش می‌دهد.
2. استراتژی‌های تفکر در زندگی روزمره کاربرد دارند.
3. ریاضی از عوامل مؤثر در پرورش و رشد توسعه تفکر انتقادی است.
4. ریاضیات می‌تواند تفکر استنتاجی و منطقی را توسعه دهد.
5. ریاضیات روند تفکر را منظم می‌نماید.
6. ریاضیات می‌تواند تفکر خلاق را پرورش دهد.
7. ریاضیات قوه تخیل را تقویت می‌نماید.
8. آموزش ریاضی ذهن را برای تفکر مجرد آماده می‌سازد.
9. تفکر نمادین با آموزش ریاضی توسعه می‌یابد.

1. آموزش ریاضیات موجب تقویت روحیه نقد و بررسی و روحیه انتقاد‌پذیری می‌شود.
2. در جست‌وجوگری علمی دانسته‌های خود را بررسی و بین دانسته‌های خود و مسئله ارتباط برقرار می‌کنیم.
3. توصیف چیزها با دقت ممکن این امکان را به‌وجود می‌آورد که پژوهشگران مشاهداتشان را با هم مقایسه کنند.
4. یک پژوهشگر در مورد محیط اطراف خود کنجکاوی می‌کند و سؤالات و مسائل جدیدی طرح می‌کند.
5. شنیدن و تحمل آراء مخالف به پژوهشگر کمک می‌کند علمی‌تر تحقیق کند.
6. یک محقق در مراجعه به یک مسئله از اطلاعات سایرین و سایر اطلاعات در دسترس برای رسیدن به حقیقت استفاده می‌کند.

1. ریاضیات به قانون‌مند شدن زندگی روزمره کمک می‌کند.
2. انسان‌ها در زندگی روزمره از الگو‌های ریاضی مشترکی پیروی می‌کنند.
3. بدون دانش ریاضی زندگی روزمره مختل می‌شود.
4. طرح مسائل نو در دست‌یابی به ناشناخته‌ها کمک می‌کند.
5. قضاوت ‌کردن در مسائل زندگی روزمره باید مبتنی بر بررسی علمی باشد.
6. برای حل مسائل زندگی روزمره ناچار به توسعه ریاضیات هستیم.
7. تغییرات شرایط زندگی موجب پیدایش مشکلات و مسائل جدید می‌شود و ریاضیات می‌تواند به حل این مسائل جدید کمک کند.
8. پرورش مهارت‌های تفکر کمک به حل مسائل زندگی روزمره می‌کند.
9. مدل‌سازی ریاضی یک روش اساسی برای حل مسائل زندگی روزمره است.

1. بسیاری از ایده‌های ریاضی از طبیعت گرفته شده‌اند.
2. نیاز به اعداد از نیازهای طبیعی بشر است.
3. ریاضیات کمک می‌کند طبیعت اطراف خود را بشناسیم و برای شناخت بهتر طبیعت ناچار به توسعه ریاضیات هستیم.
4. با استفاده از ریاضیات می‌توان در جهت کنترل طبیعت قدم برداشت.
5. طبیعت همیشه ساده‌ترین راه را انتخاب می‌کند.

1. فرضیه‌سازی عمدتاً باید بر تجربه استوار شده‌باشد.
2. ایده‌های ریاضی بر فرآیند کسب تجربه ما تأثیر می‌گذارند و برعکس.
3. تجربه به درونی‌ شدن آموخته‌ها کمک می‌کند.
4. برای یقین تجربه کافی نیست.
5. تجربه‌های تکرارپذیر نقش مهمی در توسعه ریاضیات دارند.
6. وقتی تحلیل دو پژوهشگر از یک پدیده متفاوت است، باید تجربه نشان بدهد که کدام نظر معتبرتر است.

1. تکنولوژی در برابر فراهم کردن امکاناتی که به ما می‌دهد محدودیت‌هایی نیز دارد.
2. مدل‌های ریاضی بر ساختار تکنولوژی تأثیر می‌گذارند.
3. ساختن ابزار‌های تکنولوژی و توسعه ایده‌های ریاضی بر هم تأثیر متقابل دارند.
4. تکنولوژی بدون انسان پیشرفت نمی‌کند.
5. استفاده از تکنولوژی در آموزش بر تفکر آموزشی و چگونگی یادگیری آن مؤثر است.

1. ریاضیات پدیده‌های طبیعی و اجتماعی را به‌عنوان یک سیستم بررسی می‌کند.
2. معمولاً با تقسیم یک سیستم به چند سیستم کوچک‌تر و بررسی ارتباط آن‌ها می‌توان آسان‌تر آن سیستم را بررسی کرد.
3. یک سیستم را می‌توان با یک سیستم ساده‌تر شبیه‌سازی کرد و آن را به‌طور تقریبی بررسی کرد.
4. با اثرگذاری روی سیستم و بررسی عکس‌العمل آن می‌توان سیستم را بهتر شناخت.
5. گاهی یک سیستم را می‎‌توان تحلیل کرد، به گونه‌ای که همان وظایف را ساده‌تر انجام دهد.
6. از مدل‌سازی ریاضی در شناخت سیستم‌ها استفاده می‌کنیم.

1. مدل‌هایی که برای حل یک مسئله ساخته می‌شود برای مسائل مشابه قابل کاربرد است.
2. مدل‌سازی ریاضی یک روش اساسی برای حل کردن مسائل زندگی روزمره است.
3. در مدل‌سازی ممکن است بعضی از محدودیت‌ها باعث شود بعضی ویژگی‌ها در حل مسئله نادیده گرفته‌ شود.
4. مدل‌های ریاضی ساخته‌شده می‌توانند باعث پیدایش ایده‌های جدید یا توسعه و تعمیم ایده‌های قبل شوند.
5. در مدل‌سازی یک پدیده طبیعی از ساده‌ترین مدل‌ها که بتواند پدیده‌ها را توصیف کند، استفاده می‌کنیم.

1. در هنگام حل مسئله بحث جمعی به سهولت و صحت حل کمک می‌کند.
2. مقابله نظرات مختلف توسط جمع در موضوعات درسی و پرسش و پاسخ به درک بهتر و یادگیری مؤثرتر کمک می‌کند.
3. عضویت در یک گروه مطالعه در یادگیری کمک می‌کند.
4. کار گروهی می‌تواند باعث افزایش مجموع توانایی‌های فردی اعضاء گروه شود.
5. رعایت اخلاق و آداب بحث گروهی در نتیجه‌گیری بهتر مؤثر است.

1. یک مسئله را می‌توان با ایده‌های متفاوت حل کرد.
2. شناسایی شبکه ارتباط مفاهیم و مهارت‌ها موجب عمیق‌تر شدن یادگیری می‌شود.
3. شبکه ارتباطی به کشف و رسیدن به حقایقی که قبلاً نمی‌دانستیم و یا توجه نداشتیم، کمک می‌کند.
4. شبکه ریاضیات مانند درختی است که هم از ریشه رشد می‌کند و به عمق می‌رود و هم از شاخه و برگ.

1. درست صحبت کردن و بیان افکار برای دیگران در برقراری ارتباط اهمیت دارد. - «پ-2»
2. ریاضیات توان‌مندی فرد را در مهارت برقراری ارتباط پرورش می‌دهد.
3. ریاضیات به تمرکز افکار کمک می‌کند.
4. تفکر نمادین اولین مرحله برخورد دانش‌آموز با تفکر مجرد است. دانش‌آموز باید به زبان نمادین بتواند با دیگران ارتباط برقرار کند.
5. فهمیدن افکار دیگران از طریق درست گوش دادن به سخنان آن‌ها از پایه‌های برقراری ارتباط است.
6. ریاضیات روند تفکر را منظم می‌نماید. - «3-5»
7. دانش‌آموز در ریاضیات می‌آموزد که صحت افکار خود را مورد نقد قرار دهد.
8. دانش‌آموز در ریاضیات می‌آموزد که صحت افکار دیگران را به نقد بگذارد.
9. استراتژی‌های تفکر در زندگی روزمره کاربرد دارند. صحنه آموزش ریاضی باید از کلاس درس خارج شود و به صحنه زندگی روزمره بازگردد.
10. تفکر نمادین با رشد توان ریاضی دانش‌آموز توسعه می‌یابد.
11. ریاضیات قوه تخیل را تقویت می‌نماید.
12. آموزش ریاضیات تفکر خلاق را پرورش می‌دهد.
13. آموزش ریاضی ذهن را برای تفکر مجرد آماده می‌کند. - «6-8»
14. توانایی بیان تفکرات به چند زبان مختلف و انتخاب مناسب‌ترین روش از مهارت‌های موردنیاز ریاضی است.
15. ریاضیات به توسعه تفکر استنتاجی منطقی کمک می‌کند.
16. ریاضی از عوامل موثر در پرورش و رشد تفکر انتقادی است.
17. آموزش ریاضی ذهن را تیز و هوشمند می‌کند. - «9-12»
18. آموزش ریاضی قدرت تفکر را پرورش می‌دهد.
19. آموزش ریاضی قدرت تعقل را پرورش می‌دهد.
20. آموزش ریاضی به درک روابط علت و معلولی کمک می‌کند.
21. از آن‌جا که مجردات از دنیای مادی پاکند، آموزش ریاضی ما را به فطرت انسانی نزدیک می‌کند.

1. سؤال کردن درباره جهان اطراف و اراده برای یافتن پاسخ آن‌ها با مشاهده و آزمون و خطا جزئی از فطرت بشری است. - «پ-2»
2. وقتی مردم توصیف‌های متفاوتی از یک چیز می‌دهند بهتر است یک مشاهده انجام دهیم تا این‌که استدلال کنیم چه کسی درست می‌گوید.
3. اگر یک بررسی علمی به همان روش مرتبه اول انجام شود انتظار داریم نتایجی بسیار شبیه به بار اول به‌دست بیاوریم.
4. مردم معمولاً درمورد چیزهای اطرافشان با مشاهده دقیق چیز یاد می‌گیرند اما گاهی اوقات آن‌ها را تحت تأثیر قرار می‌دهند و عکس‌العمل آن‌ها را مشاهده می‌کنند.
5. توصیف چیزها با دقت ممکن در علم بسیار مهم است چون به مردم کمک می‌کند مشاهداتشان را مقایسه کنند.
6. بعضی وقت‌ها مردم مطمئن نیستند چه اتفاقی خواهد افتاد چون تمام عواملی را که تأثیر دارند نمی‌دانند.
7. اگر بتوانیم برای ایده‌هایمان دلیل بیاوریم مردم بیش‌تر احتمال دارد حرفمان را باور کنند.
8. بعضی وقت‌ها بررسی‌های مشابه نتایج متفاوت می‌دهند چون اختلاف غیرقابل انتظاری در شرایط اولیه وجود دارد یا در روش‌های به کار رفته برای بررسی یا در چیزهای مورد آزمایش و حتی گاهی اوقات به خاطر عدم قطعیت در مشاهدات نتایج متفاوت می‌شوند. - «3-5»
9. نتایج بررسی‌های مشابه باید مورد بررسی قرار گیرند و برای آن‌ها دلیل جست‌وجو شود. این روند باعث پیشرفت علم می‌شود.
10. دفترچه یادداشت برای ثبت مشاهدات کمک می‌کند ایده‌ها را به‌دقت از مشاهدات جدا کنیم چون ایده‌ها پس از چندین مشاهده قابل نتیجه‌گیری هستند.
11. بیان روند کشف و نتیجه‌گیری برای قانع کردن دیگران اهمیت دارد. استدلال کفایت نمی‌کند.
12. استدلال می‌تواند توسط احساسات قوی تحت تأثیر قرار گیرد.
13. برقراری ارتباط یک بخش مهم انجام علم است.
14. بعضی اوقات دانشمندان توصیفات متفاوت برای یک مشاهده دارند و باید مشاهدات بیش‌تری داشته باشند تا اختلافاتشان حل شود.
15. همه ما می‌توانیم ادعاهای خود را با حقایقی که در کتاب‌ها، مقالات، پایانه‌های کامپیوتری وجود دارد محکم‌تر کنیم و منابع خود را مشخص کنیم. همین انتظار را باید از دیگران داشته باشیم.
16. برقراری ارتباط به دانشمندان کمک می‌کند دیگران را از کارهای خود مطلع نمایند و آن‌ها را در معرض نقد دیگران قرار داده و از کارهایشان مطلع شوند.
17. قابل مشاهده کردن نتایج به برقراری ارتباط بین دانشمندان کمک می‌کند.
18. یادداشت‌برداری صحیح، فکر باز و بازبینی برای به‌دست آوردن صحت در کار جست‌وجوگر اهمیت دارند. - «6-8»
19. اگر نتایج بررسی‌های علمی مشابه مختلف شد این یک تشخیص علمی است که آیا اختلافات بدیهی هستند یا قابل توجه. معمولاً مطالعات بیش‌تر برای نتیجه‌گیری لازم است.
20. تحقیقات علمی معمولاً شامل مجموعه‌ای از دلایل مربوط به هم می‌شود. هم استفاده از استدلال منطقی و هم کاربرد تصورات برای تصویرسازی فرضیات و هم توضیحات برای محسوس نشان دادن دلایل اجزائی از تحقیقات علمی هستند.
21. فرضیات ارزش‌مند هستند حتی اگر معلوم شود درست نبوده‌اند. به شرط آن‌که به تحقیقات ثمربخشی منجر شوند.
22. بعضی ابعاد استدلال قواعد سخت و محکمی دارد و بعضی ابعاد چنین نیست. اگر افراد قوانینی بدانند که همیشه برقرار است یا اطلاعات خوبی در مورد موقعیت خاصی داشته باشند استدلال می‌تواند به آن‌ها کمک کند آن موقعیت را بهتر بفهمند.
23. جست‌وجوگری‌های علمی معمولاً شامل مجموعه‌ای از اطلاعات به هم مربوط هستند. استفاده از استدلال منطقی، کاربرد تصورات در استفاده از فرضیات و توضیح برای این‌که اطلاعات، عمومی به‌نظر برسد از اجزای جست‌وجوگری علمی هستند.
24. فرضیات مهم پشت هر استدلال باید با دقت مشخص شوند تا موضع اتخاذ شده و صحت آن بتواند مورد نقد قرار گیرد. - «9-12»
25. استدلال‌هایی که در آن حقایق با نظریات شخصی مخلوط شده‌اند و نتیجه‌گیری‌هایی که به طور منطقی از دلایل ارائه‌شده حاصل نمی‌شوند باید شناخته شوند و مورد انتقاد قرار گیرند.
26. حتی با نتایج مشابه دانشمندان ممکن است صبر کنند تا یک بررسی چندین بار انجام پذیرد قبل از این‌که آن نتیجه را درست بدانند.
27. سنت‌های متفاوتی در علم موجودند درمورد این‌که چه تحقیقاتی و چگونه باید انجام شوند اما همه در ارزش شناخت علل، استدلال و منطق مشترکند.
28. بعضی اوقات دانشمندان شرایط را کنترل می‌کنند تا اثر یک متغیر را بدانند. وقتی این کار ممکن نباشد سعی می‌کنند چندین مشاهده متنوع انجام دهند بلکه الگویی بیابند.
29. فرضیات در علوم به‌طور گسترده‌ای مورد استفاده قرار می‌گیرند تا به چه داده‌هایی توجه کنند و این‌که آن‌ها را چگونه تحلیل کنند و به دنبال چه داده‌هایی بگردند.
30. در بلند مدت نظریه‌ها این‌طور قضاوت می‌شوند که چقدر با دیگر نظریه‌ها هم‌خوانی دارند. چقدر با وسعت مشاهدات هماهنگی دارند و این‌که چقدر خوب قابل توصیف هستند و این‌که چقدر در یافته‌ها مؤثر بوده‌اند.
31. جست‌وجوگری‌های علمی برای اهداف مختلفی اجرا و هدایت می‌شوند. مثلاً برای بررسی پدیده‌های جدید، بررسی نتایج پیشین و این‌که یک نظریه چقدر خوب پیش‌بینی می‌کند و مقایسه تئوری‌ها.
32. هر چقدر هم که یک تئوری با مشاهدات بخواند، ممکن است تئوری توانمندتر و جامع‌تری با وسعت بیش‌تری از مشاهدات هم‌خوانی بیش‌تر داشته باشد.
33. در علم، آزمایش کردن، بازنگری و گاهی بازنشسته کردن نظریات جدید و قدیمی هرگز پایان نمی‌پذیرد. این روند باعث پیشرفت پی‌درپی تمدن بشری می‌شود اما نه پیشرفت حقیقت.
34. هر از چند گاه دیدگاه علمی به درک روابط علت و معلولی پدیده‌ها تکامل می‌یابد.
35. ارزش تست کردن، بازبینی و دور ریختن تئوری‌ها به این است که دانشمندان برای ارائه نظریه قابل اعتماد و پیش‌گویی صحیح توانمندتر می‌شوند.

1. در بازی‌های کودکانه، دانش‌آموز با حل مسائل زندگی روزمره از طریق ریاضی برخورد پیدا می‌کند. - «پ-۲»
2. هنگام چیدن پازل، تفکر تصویری در کودکان تقویت می‌شود.
3. مفهوم تساوی در ابعاد وسیع در زندگی روزمره مطرح است. مفاهیم ریاضی بسیاری ازاین مفهوم انتزاع می‌شوند که در زندگی روزمره کاربرد دارند.
4. دانش‌آموز می‌تواند با کمک ریاضیات مسائل روزمره را بهتر تشخیص دهد و بهتر بشناسد.
5. هنگام خرید و فروش با جمع و تفریق اعداد سر و کار داریم.
6. در بازی‌های دسته‌جمعی با حل مسئله به‌طور دسته‌جمعی سروکار داریم. - «۳-۵»
7. ریاضیات در قانون‌مند شدن زندگی کمک می‌کند.
8. سعی می‌کنیم مشکلات روزمره را با چندین روش حل پاسخ‌گو باشیم تا اگر بعضی از روش‌ها در اجرا مشکل داشت از دیگری مدد جوییم.
9. از بین چندین راه‌حل برای یک مشکل روزمره باید مناسب‌ترین آن‌ها را انتخاب کنیم.
10. مسائل زندگی روزمره معمولاً باز هستند و فرمول‌بندی دقیق ریاضی ندارند.
11. انسان‌ها در زندگی روزمره از الگوهای ریاضی مشترکی پیروی می‌کنند.
12. دانش‌آموز باید در حل مسائل خانواده با والدین مشارکت کند.
13. تفکر جمعی درمورد مسائل روزمره، توانایی ارتباط و کار گروهی را تقویت می‌کند.
14. وقتی یک تکنیک ریاضی پیدا می‌شود، باید سعی کنیم مسائل بیش‌تری از زندگی روزمره را به آن مربوط نماییم. - «۶-۸»
15. تنوع فرمول‌بندی ریاضی مسائل روزمره،‌ به ما دید بازتری نسبت به مسائل می‌دهد.
16. بدون دانش ریاضی، زندگی روزمره مختل می‌شود.
17. تغییر شرایط زندگی موجب ایجاد مسائل جدید می‌شود.
18. قبل از یک مشکل، در حالت کلی بهتر است حالات خاص را بررسی کنیم.
19. گاهی اوقات مشکلاتی در زندگی روزمره باعث می‌شوند ریاضیات قدیمی با نگاهی جدید مورد بررسی قرار گیرد.
20. طرح مسائل نو در دست‌یابی به ناشناخته‌ها کمک می‌کند.
21. برای مواجه شدن با مسائل باز زندگی روزمره که دارای فرمول‌بندی دقیقی نیستند، باید به تکنیک‌های ریاضی، مهارت‌های تفکر و مدل‌سازی مسلح باشیم.
22. قضاوت کردن در مسائل زندگی روزمره باید مبتنی بر بررسی علمی باشد.
23. در مسائل زندگی روزمره در بسیاری از موارد نباید به یک استدلال اکتفا کرد، بلکه چندین استدلال مستقل برای تحکیم یک تصمیم یا باور باید در دسترس باشد. - «۹-۱۲»
24. ریاضیات سعی می‌کند با کمّی کردن ابعاد مختلف زندگی روزمره آن‌ها را قابل بررسی و کنترل نماید.
25. اگر از ریاضیات برای حل مشکلات استفاده کنیم، بسیاری از ابعاد زندگی روزمره به‌سادگی قابل مطالعه هستند، اما بسیاری دیگر مانند ابعاد انسانی به‌سادگی به زبان ریاضی ترجمه نمی‌شوند.
26. روش‌های مختلفی برای کمّی کردن یک مسئله در زندگی روزمره وجود دارد.
27. بسیاری از روش‌های استدلال ریاضی به ما کمک می‌کنند تا در زندگی روزمره باورهایی را استنتاج کنیم که مربوط به اشیاء ریاضی نیستند.
28. آموزش ریاضیات به نفس آماده کمک می‌کند که در محاسبه نفس مهارت کسب کند.

1. نیاز به اعداد از نیازهای طبیعی انسان است. - «پ-۲»
2. دایره، مربع، مثلث و سایر شکل‌ها در طبیعت و ساخته‌های انسان دیده می‌شود.
3. زبان اعداد در طبیعت وجود دارد و انسان آن را از طبیعت آموخته‌است.
4. ریاضیات را باید از طبیعت و جهان اطرافمان بیاموزیم.
5. باید برای یافتن ایده‌های ریاضی در طبیعت اطراف خود را جست‌و‌جو کنیم. - «۳-۵»
6. در قسمت‌های مختلف طبیعت الگوهای ریاضی مشترکی وجود دارد.
7. می‌توان در طبیعت جست‌و‌جو نمود و ایده‌های ریاضی جدیدی پیدا کرد.
8. ایده‌هایی که از طبیعت می‌گیریم برای استفاده بهتر باید به زبان ریاضی ترجمه شوند.
9. ایده‌های جدیدی که دانش‌آموز از طبیعت می‌آموزد، در ریاضیاتی که از پیش آموخته کاربرد دارد. - «۶-۸»
10. برای ایده‌های جدید ریاضی باید زبان ریاضی مناسب به‌وجود بیاوریم و نمادهای مناسب خلق کنیم.
11. برای حل مسائل زندگی روزمره می‌توان از طبیعت برای ساختن مدل‌های جدید الهام گرفت.
12. از ریاضیات می‌توان برای کنترل طبیعت استفاده کرد.
13. طبیعت همیشه ساده‌ترین راه را انتخاب می‌کند.
14. رشد علم ریاضیات، همان‌گونه که بر مجردات تأکید دارد، می‌تواند ما را در شناخت بهتر طبیعت یاری کند. - «۹-۱۲»
15. ریاضی، مطالعه هر الگو یا ارتباط است اما علوم طبیعی تنها مربوط به الگوهایی است که قابل مشاهده است. ریاضیات از طبیعت شروع شد اما به‌زودی روی مجردسازی دنیای مادی تمرکز کرد و آنگاه به‌دنبال ارتباط بین این موجودات مجرد گشت.
16. بیش‌تر اتفاق می‌افتد که مصداق ایده‌های کشف‌شده توسط بشر، بعداً در طبیعت هم یافت شود. این نشان می‌دهد که بین طبیعت و ساختار ذهن ما هماهنگی وجود دارد.
17. مانند بسیاری از علوم دیگر، سادگی یکی از والاترین ارزش‌ها در ریاضی است. مهم است بدانیم کم‌ترین قواعدی که یک گزاره را نتیجه می‌دهند کدامند.
18. برای آن‌که ریاضیات در مسیر اصلی خود رشد یابد، باید سعی شود ارتباط آن با قانون‌مندی طبیعت برقرار بماند.
19. طبیعت صورتی تنزل‌یافته از عالم مجردات است. به همین دلیل است که ریاضیات به‌عنوان علمی مجرد برای مطالعه طبیعت کارآمد است.
20. معلم در مسیر حرکت به‌سوی شناخت خداوند، از وادی ریاضیات می‌گذرد.

1. اغلب در کارهای علمی، کار کردن با یک تیم و مشارکت در یافته‌های دیگران مفید است. با وجود این، تمام اعضای تیم باید به نتیجه فردی خود راجع به این‌که یافته چیست رسیده باشند. - «پ-۲»
2. همیشه باید شناخت ناشناخته‌ها را با آزمایش آغاز کرد.
3. صحت تحلیل ما از آزمایش و نتایج آن باید دوباره مورد آزمایش قرار داده‌شود.
4. بعضی از دانش علمی ما قدیمی است، اما هنوز کاربرد دارد.
5. بعضی اوقات دانشمندان برای توضیح اتفاقات جهان خارج از مشاهدات کمک می‌گیرند و بعضی اوقات از تفکر. - «۳-۵»
6. وقتی تحلیل دو پژوهشگر از یک پدیده متفاوت است، باید تجربه نشان دهد که کدام نظر معتبرتر است.
7. اغلب تفسیرهای متفاوتی از یک رویداد می‌توان داد و همیشه نمی‌توان گفت که کدام‌یک درست است.
8. اگر فقط داده‌هایی را انتخاب کنیم که انتظارات فردی را مجاب می‌کند، کار خطرناکی را مرتکب شده‌ایم.
9. بعضی اوقات مردم قوانینی عمومی را برای توضیح چگونگی کارکرد چیزی از طریق خلاصه نمودن مشاهدات اختراع می‌کنند، ولی تمایل به عمومیت دادن زیادتر از حد تصور این قوانین عمومی با مشاهدات کم دارند.
10. برای یقین، تجربه کافی نیست.
11. تجربه‌های تکرارپذیر نقش مهمی در توسعه ریاضیات دارند. - «۶-۸»
12. مدل‌های متفاوتی می‌توانند برای نمایش یک چیز به‌کار روند. استفاده از یک نظریه مناسب یکی از لحظاتی است که شهود و خلاقیت در علم و مهندسی به‌کار می‌آیند.
13. فرضیه‌سازی باید بر تجربه استوار شده‌باشد.
14. دانشمندان از خطرات انتظارات از پیش تعیین‌شده در قضاوت‌های خود آگاهند و در هنگام طراحی تحقیقات و آزمایشات داده‌ها از آن دوری می‌جویند. یک راه اطمینان این است که محقق دیگری نیز مطالعات مستقلی روی سؤالی یکسان به انجام برساند.
15. اغلب آن‌چه مردم انتظار مشاهده آن را دارند، بر آن‌چه واقعاً مشاهده می‌کنند اثر دارد. اعتقاد بسیار قوی درمورد آن‌که چه اتفاقی باید بیفتد، آن‌ها را از جست‌و‌جو و پیدا کردن نتایج باز می‌دارد.
16. همین که فردی یک قانون عمومی را پذیرفت، او مواردی را که موافق این قانون است بیش‌تر مورد توجه قرار می‌دهد و مواردی را که موافق نیستند نادیده می‌گیرد. - «۹-۱۲»
17. برای پرهیز از مشاهدات غرض‌ورزانه، بعضی اوقات در مطالعات علمی از مشاهده‌گرانی که نمی‌دانند منتظر چه نتیجه‌ای هستند استفاده می‌شود.
18. انتظارات، حالات و تجربیات قبلی انسان روی چگونگی تعبیر و تفسیر تصورات یا ایده‌های جدید می‌تواند اثر بگذارد. مردم تمایل دارند تا شواهدی را که باورهایشان را به مبارزه می‌طلبند نادیده بگیرند و شواهدی را که از باورهایشان طرفداری می‌کنند بپذیرند.
19. دانشمندان در هر گروه تحقیقاتی بر آن هستند که چیزها را یکسان ببینند. حتی گروهی از دانشمندان نیز ممکن است در بررسی واقع‌بینانه روش‌ها و یافته‌هایشان مشکل داشته‌باشند. به همین دلیل از گروه‌های علمی انتظار می‌رود تا به‌دنبال منابع احتمالی غرض‌ورزی در طراحی تحقیقاتشان و تحلیل داده‌هایشان و در استدلال‌هایشان جست‌و‌جو کنند.
20. جهت‌گیری تحقیقات علمی متأثر از فرهنگ دانشمند است و به سؤالاتی که مورد توجه اوست یا به روش‌های تحقیقاتی که به‌نظرش احتمالاً کارآمدتر هستند، اولویت می‌دهد.

1. مردم به‌تنهایی یا در گروه همواره راه‌های جدیدی را برای حل مسائل یا انجام کار ابداع می‌کنند. ابزار و روش‌های انجام کار را که مردم ابداع کرده‌اند، روی تمام جنبه‌های زندگی اثر می‌گذارد. - «پ-۲»
2. زمانی که گروهی از مردم می‌خواهند چیزی را بسازند یا چیز جدیدی را امتحان کنند، باید از پیش تعیین کنند که این چیز چه تأثیری ممکن است بر مردم بگذارد.
3. رسیدن به چیزی که یک نفر می‌خواهد ممکن است به معنی از دست دادن چیز دیگری باشد.
4. تکنولوژی جزء تفکیک‌ناپذیر فرهنگ انسان‌هاست که هم اجتماع را شکل می‌دهد و هم از اجتماع شکل می‌پذیرد. تکنولوژی در اختیار مردم به‌طور وسیع روی زندگی اثر می‌گذارد. - «۳-۵»
5. هر اختراعی به اختراع دیگر منجر می‌شود. همین که یک اختراع صورت گرفت، مردم به راه‌های استفاده از آن فکر می‌کنند. راه‌هایی که در ابتدا حتی تصور آن را هم نمی‌کردند.
6. تکنولوژی‌ها اغلب همان‌طور که سودبخش هستند، مضراتی نیز دارند و یک تکنولوژی که به بعضی افراد یا گروه‌ها کمک می‌کند ممکن است به دیگران ضرر بزند.
7. در تغییر وسیع کشاورزی، صنعت، بهداشت، پزشکی، تجزیه و تحلیل اطلاعات و ارتباطات که به‌طور وسیعی روی زندگی مردم اثر دارند و آن را تغییر می‌دهند، تکنولوژی بسیار مؤثر بوده‌است.
8. در تصمیم‌گیری‌ها صرف وقت برای بررسی فواید و مضرات جایگزین‌ها مفید است.
9. هیچ طرحی کامل و بدون عیب نیست. طرحی که از بعضی جنبه‌ها بهترین است، ممکن است در جنبه‌های دیگر ضعف داشته‌باشد. باید بعضی جهات را فدای بعضی دیگر کرد.
10. تکنولوژی‌های جدید برخی ریسک‌ها را افزایش می‌دهند و برخی را کاهش. برخی از این تکنولوژی‌ها که طول و کیفیت زندگی مردم را بهبود بخشیده، خطرها و ریسک‌های جدید را به‌همراه داشت. - «۶-۸»
11. تمام تکنولوژی‌ها اثراتی به‌جز آن‌هایی که در طراحی آن‌ها پیش‌بینی شده، دارند که برخی را ممکن است بتوان پیش‌بینی کرد و برخی را خیر.
12. مردم تکنولوژی را کنترل می‌کنند و مسئول تأثیرات آن هستند.
13. راه‌حل، مشکل دیگری تولید می‌کند.
14. اثرات جنبی تکنولوژی ممکن است برای برخی مردم قابل‌قبول نباشد و بنابراین منجر به برخورد بین گروه‌ها می‌شود.
15. به‌ندرت موضوعات مربوط به تکنولوژی ساده و دارای یک جنبه هستند. عوامل مربوط حتی اگر در دسترس و مشخص باشند، نمی‌توانند تعیین‌کننده تمام امور باشند.
16. تکنولوژی همیشه نمی‌تواند راه‌حل‌های موفق برای مسائل فراهم کند یا تمام نیازهای انسان را پر کند.
17. تکنولوژی برخی ریسک‌ها را افزایش و برخی را کاهش می‌دهد. برخی از این تکنولوژی‌هایی که طول و کیفیت زندگی بسیاری از مردم را بهبود بخشیده، خطرها و ریسک‌های جدید را به همراه داشته. - «۹-۱۲»
18. تکنولوژی به‌طور مستقیم روی جامعه اثر می‌گذارد. زیرا تکنولوژی مشکلات عملی و کاربردی را حل می‌کند و نیازهای انسانی را برآورده می‌سازد. البته ممکن است تکنولوژی مشکل‌ساز نیز باشد.
19. پیشرفت در علوم و اختراعات در یک جامعه، بستگی وسیعی به دیگر جوامع دارد، و توسعه علمی و تکنولوژیکی بر تحولات فرهنگ و تمدن بشری تأثیر دارد و برعکس.
20. ارزش هر تکنولوژی در دسترس ممکن است برای گروه‌های مختلف مردم و در زمان‌های مختلف، تفاوت داشته‌باشد.
21. با استفاده از تکنولوژی می‌توان رشد، کاربرد و آموزش ریاضیات را آسان نمود.
22. با استفاده از پیامدهای مثبت و منفی استفاده از یک تکنولوژی، با افزایش قدرت تحلیل می‌توان تأثیرات منفی تکنولوژی را کاهش داد یا از بین برد.

1. شناخت ارتباط بین پدیده‌های مختلف، مقدمه‌ای برای درک مفهوم مجرد سیستم است. - «پ-۲»
2. با بررسی و مقایسه ورودی و خروجی سیستم‌ها می‌توان نحوه کار آن را حدس زد.
3. تشخیص سیستم‌ها در زندگی روزمره به توانایی حل مسئله کمک می‌کند.
4. برای مطالعه یک سیستم می‌توان با اثرگذاری هدف‌دار و بررسی عکس‌العمل آن، سیستم را بررسی کرد. - «۳-۵»
5. ریاضیات پدیده‌های طبیعی و اجتماعی را به‌عنوان یک سیستم بررسی می‌کند.
6. گاهی می‌توان یک سیستم را با سیستمی ساده‌تر جایگزین کرد که همان وظایف را به انجام برساند.
7. یک سیستم را می‌توان با یک سیستم ساده‌تر جایگزین کرد و آن را به‌طور تقریبی بررسی کرد.
8. در زندگی روزمره برای انجام وظایف خاصی می‌توان یک سیستم طراحی کرد. - «۶-۸»
9. از مدل‌سازی ریاضی در شناخت سیستم‌ها و پیش‌بینی رفتار آن‌ها استفاده می‌کنیم.
10. می‌توان از سیستم‌های قدیمی در ساخت سیستم‌های جدید کمک گرفت.
11. طراحی چند سیستم برای انجام وظایف و مقایسه توانایی‌ها و ضعف‌های آن‌ها به راندمان بالاتر کمک می‌کند.
12. با تغییر هدف‌دار سیستم می‌توان یک سیستم در حال کار را برای راندمان بهتر مدیریت کرد.
13. طراحی سیستم مبتنی بر پردازش داده‌هاست و در تحلیل آن از ریاضیات کمک گرفته می‌شود. سیستم طراحی‌شده باید بتواند با داده‌های واقعی مطابقت داشته‌باشد. - «۹-۱۲»
14. درنظر گرفتن قیود لازمه طراحی است.
15. با توجه به شرایط واقعی مسئله از برخی محدودیت‌ها مانند محدودیت‌های محیطی در طراحی سیستم‌ها نمی‌توان دوری جست.
16. سیستم‌های طراحی‌شده توسط انسان از سیستم‌هایی که در طبیعت یافت می‌شوند بسیار ساده‌تر هستند. شناخت‌شناسی انسان به درک بهتر سیستم‌ها کمک می‌کند.
17. سیستم‌های طراحی‌شده وقتی ممکن است با شکست مواجه شوند که دارای اجزائی باشند که سالم نیستند یا با هم ارتباط ضعیف دارند و یا از آن‌ها به‌گونه‌ای استفاده می‌شود که در طراحی موردنظر نبوده‌است و یا از ابتدا ضعیف طراحی شده‌اند.
18. در طراحی یک سیستم، هرچه یک سیستم اجزاء و ارتباطات بیش‌تری داشته‌باشد، مشکلات بیش‌تری ممکن است پیش بیاید. سیستم‌ها به اجزائی برای تشخیص پشتیبانی، رد کردن یا جبران کردن شکست‌های جزئی نیازمندند.
19. برای کاهش احتمال شکست یک سیستم طراحی‌شده معمولاً آزمایش چگونگی عملکرد با مدل‌هایی در مقیاس‌های کوچک، بازسازی کامپیوتری و سیستم‌های مشابه انجام می‌شود. گاهی فقط روی قسمت‌هایی از سیستم که غیرقابل‌اطمینان هستند و آزمایش نشده‌اند آزمایش می‌کنیم.
20. عملکرد یک سیستم طراحی‌شده، اغلب شامل بازخورد استفاده‌کنندگان هم می‌شود.
21. در طراحی یک وسیله یا فرآیند باید روی چگونگی تولید، عملکرد، توزیع، جایگزینی و از دور خارج نمودن آن و کسانی که با آن کار می‌کنند و مراقبت آن فکر کرد. هزینه این امور ممکن است محدودیت‌هایی را در طراحی فراهم نماید.

1. اعداد می‌توانند برای شمارش اشیاء، مرتب کردن آن‌ها یا نام‌گذاری آن‌ها به‌کار روند. - «پ-۲»
2. یک راه برای توضیح یک پدیده این است که بگوییم چطور شبیه چیز دیگری است.
3. یک مدل برای یک پدیده از آن پدیده واقعی متفاوت است. اما می‌توان از آن استفاده کرد تا درباره پدیده‌های واقعی چیزهایی یاد گرفت.
4. یک راه مهم برای شناخت پدیده‌ها طبقه‌بندی آن‌هاست. برای مثال اشیاء را می‌توان برحسب رنگ، اندازه، شکل مرتب نمود.
5. اعداد و اشکال می‌توانند برای صحبت کردن درباره اشیاء به‌کار روند.
6. اعداد و اشکال و اعمال روی آن‌ها به ما کمک می‌کند که چیزی را توضیح دهیم یا درمورد دنیای اطرافمان پیش‌گویی کنیم. - «۳-۵»
7. جمع‌آوری و منظم کردن داده‌های زندگی روزمره در جدول به تصمیم‌گیری روزمره کمک می‌کند.
8. روند کشف ریاضیات همان تشخیص الگوهای مشترک بین پدیده‌ها و استخراج مدل‌های ریاضی از آن‌هاست.
9. نمودارها می‌توانند چندین نوع ارتباط بین یک متغیر و زمان را به نمایش بگذارند. این‌که با گذشت زمان متغیر افزایش و کاهش سریع و یا کند داشته‌باشد، به مقدار حدی نزدیک شود و یا رفتار پله‌ای داشته‌باشد.
10. کشف الگوهای عددی و هندسی ابزار مهمی برای پیش‌بینی پدیده‌های طبیعی و زندگی روزمره است.
11. اشکال هندسی، اعداد، دنباله‌ها، ‌گراف‌ها، نمودارها، محورهای اعداد، نقشه‌ها و داستان‌ها می‌توانند برای نمایش موجودات، اتفاقات، تغییرات در دنیای واقعی به‌کار برده‌شوند. البته این نمایش‌ها هرگز نمی‌توانند در همه ابعاد دقیق باشند.
12. طراحی الگوهای هندسی و عددی بستر خلاقیت ریاضی و خلاقیت هنری است. بدین‌وسیله ریاضیات در زیباسازی محیط اطرافمان به ما کمک می‌کند. - «۶-۸»
13. قوانین احتمال به ما اجازه می‌دهند در مواردی که اطلاعات قطعی نداریم، پیش‌گویی کنیم.
14. وقتی ریاضی از قواعد منطقی استفاده می‌کند تا با نمایش‌های مختلف چیزی کار کند، نتیجه ممکن است کاملاً برای کاربرد در آن مورد مناسب نباشد.
15. مدل‌های متفاوتی می‌توانند یک پدیده را نمایش دهند. این‌که چه مدلی چقدر پیچیده باشد، به کاربرد بستگی دارد. انتخاب یک مدل مفید یکی از ملاحظاتی است که شهود و خلاقیت در علم ریاضی و مهندسی به‌کار می‌آیند.
16. هر مدل ریاضی نموداری یا جبری، محدود است به این‌که چقدر خوب جهان واقعی را توصیف می‌کند. کارآمدی یک مدل ریاضی برای یک پیش‌بینی ممکن است توسط عدم قطعیت در اندازه‌گیری‌ها، عدم توجه به تأثیرات تأمین‌کننده یا محاسبات بسیار زیاد محدود شود.
17. برای استفاده و تحلیل ریاضی مهم است بیش‌تر از این‌که به‌درستی محاسبه توجه داشته‌باشیم، به این توجه داشته‌باشیم که تا چه اندازه این محاسبات بیان‌گر موضوعات مورد بررسی هستند. - «۹-۱۲»
18. معمولاً به‌سادگی می‌توان برای یک پدیده روی بستر کوچکی از شرایط مثل دما یا زمان مدل ریاضی پیدا کرد. ولی ممکن است برای بستری بزرگ‌تر، آن مدل جواب ندهد.
19. استفاده از ریاضی برای حل یک مسئله خاص شامل فرضیات ساده‌کننده، تقریب‌ها، محاسبات و آن‌گاه تصمیم‌گیری درباره این‌که آیا جواب منطقی به‌نظر می‌رسد یا نه، می‌باشد.
20. بیش‌تر کار ریاضی‌دانان یک‌جور مدل‌سازی است که شامل سه مرحله است: ۱) استفاده از مجردسازی برای نمایش اشیاء و ایده‌ها ۲) کار با مجردات برحسب قواعد منطقی ۳) بررسی این‌که چقدر نتایج به‌دست آمده با ایده‌ها سازگارند. البته تفکر واقعی لزوماً از این ترتیب پیروی نمی‌کند.
21. ایده اصلی مدل‌سازی این است که ارتباطاتی پیدا شود که مانند اشیاء مورد بررسی رفتار کند. یک مدل ریاضی ممکن است کمک کند بفهمیم چگونه یک چیز کار می‌کند یا ممکن است با خیلی مشاهدات تطابق داشته‌باشد، بدون این‌که هیچ معنایی شهودی به‌دست دهد.
22. با مدل‌سازی می‌توان به حقیقت نزدیک شد، اما نمی‌توان به حقیقت رسید.

1. بازی‌هایی که توانایی بیش‌تر کار گروه را به نمایش می‌گذارد، دانش‌آموزان را به کار گروهی علاقه‌مند می‌کند. - «پ-۲»
2. مشورت پایه تصمیم‌گیری است. در هنگام حل مسئله مشورت به سهولت و صحت حل کمک می‌کند.
3. حل مسئله توسط دو نفر مقدمه‌ای است برای تفکر دسته‌جمعی.
4. تشویق تمایل به کار گروهی با ایجاد رقابت امکان‌پذیر است.
5. بازی‌هایی که در آن اعضای گروه نیاز به همکاری دارند، توانایی ارتباط دانش‌آموزان با اعضای گروه را تقویت می‌کنند. - «۳-۵»
6. حل مسئله توسط سه نفر آغاز، ایجاد و طراحی سیستم در داخل گروه است. به‌طوری که گروه به‌سمت هدف هدایت شود.
7. حل مسئله در دو گروه دونفره و مقایسه راه‌حل‌های دو گروه و آگاهی از استراتژی‌ها و تصمیم‌گیری‌های هنگام حل مسئله توسط گروه دیگر، مهارت‌های تفکر گروهی را نهادینه می‌کند.
8. مباحثه دونفره و آزمودن یکدیگر باعث درک عمیق‌تر مباحث است.
9. مباحثه دو گروه دونفره و آزمودن یکدیگر باعث درک عمیق‌تر مباحث است.
10. تجربه حالت‌های خاص از مسئله یا تجربه آن در کاربرد توسط گروه‌های دونفری، فرهنگ کار گروهی را به‌وجود می‌آورد. - «۶-۸»
11. حل مسئله به‌روش شورایی در گروه‌های چندنفری به مهارت‌های ارتباط اجتماعی کمک می‌کند.
12. حل مسئله به‌روش کار گروهی ساختارمند در گروه‌های چندنفری، شخصیت افراد در گروه را شکل می‌دهد.
13. حل مسئله فعالیت‌هایی را شامل می‌شود که همه آن‌ها می‌توانند گروهی هم انجام شوند و این باعث افزایش توانایی‌های فرد می‌شود نه کاهش آن.
14. مشورت در تصمیم‌گیری‌های زندگی روزمره به ما کمک می‌کند ابعاد بیش‌تری از مسئله را مدنظر قرار دهیم. - «۹-۱۲»
15. بسیاری از فعالیت‌های ریاضی به‌روش گروهی ساده‌تر قابل‌انجام هستند. ولی بعضی از آن‌ها هم این‌طور نیستند، چون مدیریت کار گروهی در این فعالیت‌ها بسیار مشکل است.
16. اگر چندین روش برای مدل‌سازی یک مسئله داشته‌باشیم، برای انتخاب راه‌حل آزادی عمل بیش‌تری داریم.
17. همکاری و مشارکت باعث برهم‌نهی توانایی ریاضی افراد می‌شود.
18. همکاری و مشارکت باعث ارتباط انسانی بیش‌تر و لذا رشد توانایی‌های فردی می‌شود.

1. نیاز به اعداد و حساب از نیازهای فطری بشر است. - «پ-۲»
2. تجرید در فطرت انسان است.
3. تفکر کلامی استنتاجی با سیستم شنوایی و تأثیرات آن در سیستم ادراک بشر مرتبط است.
4. تفکر تصویری با سیستم بینایی و تأثیرات آن در سیستم ادراک بشر مرتبط است.
5. یک مسئله را می‌توان با ایده‌های متفاوت حل کرد. - «۳-۵»
6. گستره حساب روزبه‌روز توسعه می‌یابد و همراه با تکامل تمدن‌ها، مفهوم عدد رشد می‌کند.
7. نگاه موضعی و جزء به کل یکی از استراتژی‌های ادراک بشری است.
8. نگاه سرتاسری و کل به جزء یکی از استراتژی‌های ادراک بشری است.
9. شبکه ارتباطی به کشف و رسیدن به حقایقی که قبلاً نمی‌دانستیم یا توجه نداشتیم کم می‌کند. - «۶-۸»
10. می‌توان مسائل هندسی را به فرمول‌بندی جبری ترجمه کرد و ادراک سرتاسری را می‌توان بر استدلال استوار نمود.
11. شناسایی شبکه ارتباط مفاهیم و مهارت‌ها موجب عمیق‌تر شدن یادگیری می‌شود.
12. ادراک موضعی را که بر استنتاج و استدلال استوار است می‌توان با مدل‌های ریاضی بر شهود استوار نمود.
13. شبکه ریاضیات مانند درختی است که هم از ریشه رشد می‌کند و هم از شاخه و برگ توسعه می‌یابد.
14. مفاهیم و مهارت‌های ریاضی دارای لایه‌های تجرید هستند. شبکه ارتباط مفاهیم و شبکه ارتباط مهارت‌ها به هم مربوطند. - «۹-۱۲»
15. ریاضیات دارای لایه‌های تجرید گوناگون است.
16. ریاضیات برای آموزش تفکر مجرد مناسب است.
17. موجودات مجرد هریک از لایه‌های مجرد ریاضی، دارای شبکه ارتباطی مخصوص به خود هستند.
18. شواهدی داریم که ارتباط بین مفاهیم مجرد در ریاضیات بسیار شبیه ارتباط بین مفاهیم مجرد در الهیات است.
19. شناخت چگونگی ارتباط بین لایه‌های مجرد ریاضی می‌تواند ما را در شناخت انسان کمک کند.

1. ریاضیات توان‌مندی فرد را در مهارت‌های برقراری ارتباط پرورش می‌دهد.
   • P.i.1.a.1.          درست صحبت کردن و بیان افکار برای دیگران در برقراری ارتباط اهمیت دارد.
   • P.i.1.b.1.          ریاضیات توان‌مندی فرد را در مهارت برقراری ارتباط پرورش می‌دهد.
   • P.i.1.d.1.          تفکر نمادین اولین مرحله برخورد دانش‌آموز با تفکر مجرد است. دانش‌آموز باید به زبان نمادین بتواند با دیگران ارتباط برقرار کند.
   • P.i.1.e.1.          فهمیدن افکار دیگران از طریق درست گوش دادن به سخنان آن‌ها از پایه‌های برقراری ارتباط است.
   • P.i.1.h.2.          دانش‌آموز در ریاضیات می‌آموزد که صحت افکار دیگران را به نقد بگذارد.
   • P.i.1.n.3.          توانایی بیان تفکرات به چند زبان مختلف و انتخاب مناسب‌ترین روش از مهارت‌های موردنیاز ریاضی است.
   • P.i.1.p.3.          ریاضی از عوامل موثر در پرورش و رشد تفکر انتقادی است.
   • P.i.1.s.4.           آموزش ریاضی قدرت تعقل را پرورش می‌دهد.
2. استراتژی‌های تفکر در زندگی روزمره کاربرد دارند.
   • P.i.2.c.1.          ریاضیات به تمرکز افکار کمک می‌کند.
   • P.i.2.f.2.           ریاضیات روند تفکر را منظم می‌نماید.
   • P.i.2.g.2.          دانش‌آموز در ریاضیات می‌آموزد که صحت افکار خود را مورد نقد قرار دهد.
   • P.i.2.i.2.           استراتژی‌های تفکر در زندگی روزمره کاربرد دارند. صحنه آموزش ریاضی باید از کلاس درس خارج شود و به صحنه زندگی روزمره بازگردد.
   • P.i.2.j.2.           تفکر نمادین با رشد توان ریاضی دانش‌آموز توسعه می‌یابد.
   • P.i.2.l.2.           آموزش ریاضیات تفکر خلاق را پرورش می‌دهد.
   • P.i.2.r.4.           آموزش ریاضی قدرت تفکر را پرورش می‌دهد.
   • P.i.2.s.4.           آموزش ریاضی قدرت تعقل را پرورش می‌دهد.
   • P.i.2.u.4.          از آن‌جا که مجردات از دنیای مادی پاکند، آموزش ریاضی ما را به فطرت انسانی نزدیک می‌کند.
3. ریاضی از عوامل مؤثر در پرورش و رشد توسعه تفکر انتقادی است.
   • P.i.3.a.1.          درست صحبت کردن و بیان افکار برای دیگران در برقراری ارتباط اهمیت دارد.
   • P.i.3.e.1.          فهمیدن افکار دیگران از طریق درست گوش دادن به سخنان آن‌ها از پایه‌های برقراری ارتباط است.
   • P.i.3.g.2.          دانش‌آموز در ریاضیات می‌آموزد که صحت افکار خود را مورد نقد قرار دهد.
   • P.i.3.h.2.          دانش‌آموز در ریاضیات می‌آموزد که صحت افکار دیگران را به نقد بگذارد.
   • P.i.3.o.3.          ریاضیات به توسعه تفکر استنتاجی منطقی کمک می‌کند.
   • P.i.3.p.3.          ریاضی از عوامل موثر در پرورش و رشد تفکر انتقادی است.
   • P.i.3.s.4.           آموزش ریاضی قدرت تعقل را پرورش می‌دهد.
   • P.i.3.t.4.           آموزش ریاضی به درک روابط علت و معلولی کمک می‌کند.
4. ریاضیات می‌تواند تفکر استنتاجی و منطقی را توسعه دهد.
   • P.i.4.c.1.          ریاضیات به تمرکز افکار کمک می‌کند.
   • P.i.4.g.2.          دانش‌آموز در ریاضیات می‌آموزد که صحت افکار خود را مورد نقد قرار دهد.
   • P.i.4.h.2.          دانش‌آموز در ریاضیات می‌آموزد که صحت افکار دیگران را به نقد بگذارد.
   • P.i.4.j.2.           تفکر نمادین با رشد توان ریاضی دانش‌آموز توسعه می‌یابد.
   • P.i.4.o.3.          ریاضیات به توسعه تفکر استنتاجی منطقی کمک می‌کند.
   • P.i.4.r.4.           آموزش ریاضی قدرت تفکر را پرورش می‌دهد.
   • P.i.4.s.4.           آموزش ریاضی قدرت تعقل را پرورش می‌دهد.
   • P.i.4.t.4.           آموزش ریاضی به درک روابط علت و معلولی کمک می‌کند.
5. ریاضیات روند تفکر را منظم می‌نماید.
   • P.i.5.c.1.          ریاضیات به تمرکز افکار کمک می‌کند.
   • P.i.5.f.2.           ریاضیات روند تفکر را منظم می‌نماید.
   • P.i.5.g.2.          دانش‌آموز در ریاضیات می‌آموزد که صحت افکار خود را مورد نقد قرار دهد.
   • P.i.5.o.3.          ریاضیات به توسعه تفکر استنتاجی منطقی کمک می‌کند.
   • P.i.5.p.3.          ریاضی از عوامل موثر در پرورش و رشد تفکر انتقادی است.
   • P.i.5.r.4.           آموزش ریاضی قدرت تفکر را پرورش می‌دهد.
6. ریاضیات می‌تواند تفکر خلاق را پرورش دهد.
   • P.i.6.d.1.          تفکر نمادین اولین مرحله برخورد دانش‌آموز با تفکر مجرد است. دانش‌آموز باید به زبان نمادین بتواند با دیگران ارتباط برقرار کند.
   • P.i.6.i.2.           استراتژی‌های تفکر در زندگی روزمره کاربرد دارند. صحنه آموزش ریاضی باید از کلاس درس خارج شود و به صحنه زندگی روزمره بازگردد.
   • P.i.6.k.2.          ریاضیات قوه تخیل را تقویت می‌نماید.
   • P.i.6.l.2.           آموزش ریاضیات تفکر خلاق را پرورش می‌دهد.
   • P.i.6.n.3.          توانایی بیان تفکرات به چند زبان مختلف و انتخاب مناسب‌ترین روش از مهارت‌های موردنیاز ریاضی است.
   • P.i.6.q.4.          آموزش ریاضی ذهن را تیز و هوشمند می‌کند.
   • P.i.6.r.4.           آموزش ریاضی قدرت تفکر را پرورش می‌دهد.
7. ریاضیات قوه تخیل را تقویت می‌نماید.
   • P.i.7.k.2.          ریاضیات قوه تخیل را تقویت می‌نماید.
   • P.i.7.l.2.           آموزش ریاضیات تفکر خلاق را پرورش می‌دهد.
   • P.i.7.m.3.         آموزش ریاضی ذهن را برای تفکر مجرد آماده می‌کند.
   • P.i.7.q.4.          آموزش ریاضی ذهن را تیز و هوشمند می‌کند.
   • P.i.7.u.4.          از آن‌جا که مجردات از دنیای مادی پاکند، آموزش ریاضی ما را به فطرت انسانی نزدیک می‌کند.
8. آموزش ریاضی ذهن را برای تفکر مجرد آماده می‌سازد.
   • P.i.8.d.1.          تفکر نمادین اولین مرحله برخورد دانش‌آموز با تفکر مجرد است. دانش‌آموز باید به زبان نمادین بتواند با دیگران ارتباط برقرار کند.
   • P.i.8.j.2.           تفکر نمادین با رشد توان ریاضی دانش‌آموز توسعه می‌یابد.
   • P.i.8.k.2.          ریاضیات قوه تخیل را تقویت می‌نماید.
   • P.i.8.l.2.           آموزش ریاضیات تفکر خلاق را پرورش می‌دهد.
   • P.i.8.m.3.         آموزش ریاضی ذهن را برای تفکر مجرد آماده می‌کند.
   • P.i.8.n.3.          توانایی بیان تفکرات به چند زبان مختلف و انتخاب مناسب‌ترین روش از مهارت‌های موردنیاز ریاضی است.
   • P.i.8.q.4.          آموزش ریاضی ذهن را تیز و هوشمند می‌کند.
   • P.i.8.r.4.           آموزش ریاضی قدرت تفکر را پرورش می‌دهد.
   • P.i.8.s.4.           آموزش ریاضی قدرت تعقل را پرورش می‌دهد.
   • P.i.8.t.4.           آموزش ریاضی به درک روابط علت و معلولی کمک می‌کند.
   • P.i.8.u.4.          از آن‌جا که مجردات از دنیای مادی پاکند، آموزش ریاضی ما را به فطرت انسانی نزدیک می‌کند.
9. تفکر نمادین با آموزش ریاضی توسعه می‌یابد.
   • P.i.9.d.1.          تفکر نمادین اولین مرحله برخورد دانش‌آموز با تفکر مجرد است. دانش‌آموز باید به زبان نمادین بتواند با دیگران ارتباط برقرار کند.
   • P.i.9.j.2.           تفکر نمادین با رشد توان ریاضی دانش‌آموز توسعه می‌یابد.
   • P.i.9.m.3.         آموزش ریاضی ذهن را برای تفکر مجرد آماده می‌کند.
   • P.i.9.n.3.          توانایی بیان تفکرات به چند زبان مختلف و انتخاب مناسب‌ترین روش از مهارت‌های موردنیاز ریاضی است.
   • P.i.9.o.3.          ریاضیات به توسعه تفکر استنتاجی منطقی کمک می‌کند.
   • P.i.9.u.4.          از آن‌جا که مجردات از دنیای مادی پاکند، آموزش ریاضی ما را به فطرت انسانی نزدیک می‌کند.

1. آموزش ریاضیات موجب تقویت روحیه نقد و بررسی و روحیه انتقاد‌پذیری می‌شود.
   • P.ii.1.b.1.         وقتی مردم توصیف‌های متفاوتی از یک چیز می‌دهند بهتر است یک مشاهده انجام دهیم تا این‌که استدلال کنیم چه کسی درست می‌گوید.
   • P.ii.1.g.1.         اگر بتوانیم برای ایده‌هایمان دلیل بیاوریم مردم بیش‌تر احتمال دارد حرفمان را باور کنند.
   • P.ii.1.s.3.          اگر نتایج بررسی‌های علمی مشابه مختلف شد این یک تشخیص علمی است که آیا اختلافات بدیهی هستند یا قابل توجه. معمولاً مطالعات بیش‌تر برای نتیجه‌گیری لازم است.
   • P.ii.1.u.3.         فرضیات ارزش‌مند هستند حتی اگر معلوم شود درست نبوده‌اند. به شرط آن‌که به تحقیقات ثمربخشی منجر شوند.
   • P.ii.1.y.4.         استدلال‌هایی که در آن حقایق با نظریات شخصی مخلوط شده‌اند و نتیجه‌گیری‌هایی که به طور منطقی از دلایل ارائه‌شده حاصل نمی‌شوند باید شناخته شوند و مورد انتقاد قرار گیرند.
   • P.ii.1.hh.4.       هر از چند گاه دیدگاه علمی به درک روابط علت و معلولی پدیده‌ها تکامل می‌یابد.
   • P.ii.1.ii.4.         ارزش تست کردن، بازبینی و دور ریختن تئوری‌ها به این است که دانشمندان برای ارائه نظریه قابل اعتماد و پیش‌گویی صحیح توانمندتر می‌شوند.
2. در جست‌وجوگری علمی دانسته‌های خود را بررسی و بین دانسته‌های خود و مسئله ارتباط برقرار می‌کنیم.
   • P.ii.2.c.1.         اگر یک بررسی علمی به همان روش مرتبه اول انجام شود انتظار داریم نتایجی بسیار شبیه به بار اول به‌دست بیاوریم.
   • P.ii.2.d.1.         مردم معمولاً درمورد چیزهای اطرافشان با مشاهده دقیق چیز یاد می‌گیرند اما گاهی اوقات آن‌ها را تحت تأثیر قرار می‌دهند و عکس‌العمل آن‌ها را مشاهده می‌کنند.
   • P.ii.2.f.1.          بعضی وقت‌ها مردم مطمئن نیستند چه اتفاقی خواهد افتاد چون تمام عواملی را که تأثیر دارند نمی‌دانند.
   • P.ii.2.h.2.         بعضی وقت‌ها بررسی‌های مشابه نتایج متفاوت می‌دهند چون اختلاف غیرقابل انتظاری در شرایط اولیه وجود دارد یا در روش‌های به کار رفته برای بررسی یا در چیزهای مورد آزمایش و حتی گاهی اوقات به خاطر عدم قطعیت در مشاهدات نتایج متفاوت می‌شوند.
   • P.ii.2.i.2.          نتایج بررسی‌های مشابه باید مورد بررسی قرار گیرند و برای آن‌ها دلیل جست‌وجو شود. این روند باعث پیشرفت علم می‌شود.
   • P.ii.2.m.2.        برقراری ارتباط یک بخش مهم انجام علم است.
   • P.ii.2.p.2.         برقراری ارتباط به دانشمندان کمک می‌کند دیگران را از کارهای خود مطلع نمایند و آن‌ها را در معرض نقد دیگران قرار داده و از کارهایشان مطلع شوند.
   • P.ii.2.r.3.          یادداشت‌برداری صحیح، فکر باز و بازبینی برای به‌دست آوردن صحت در کار جست‌وجوگر اهمیت دارند.
   • P.ii.2.t.3.          تحقیقات علمی معمولاً شامل مجموعه‌ای از دلایل مربوط به هم می‌شود. هم استفاده از استدلال منطقی و هم کاربرد تصورات برای تصویرسازی فرضیات و هم توضیحات برای محسوس نشان دادن دلایل اجزائی از تحقیقات علمی هستند.
   • P.ii.2.v.3.         بعضی ابعاد استدلال قواعد سخت و محکمی دارد و بعضی ابعاد چنین نیست. اگر افراد قوانینی بدانند که همیشه برقرار است یا اطلاعات خوبی در مورد موقعیت خاصی داشته باشند استدلال می‌تواند به آن‌ها کمک کند آن موقعیت را بهتر بفهمند.
   • P.ii.2.w.3.        جست‌وجوگری‌های علمی معمولاً شامل مجموعه‌ای از اطلاعات به هم مربوط هستند. استفاده از استدلال منطقی، کاربرد تصورات در استفاده از فرضیات و توضیح برای این‌که اطلاعات، عمومی به‌نظر برسد از اجزای جست‌وجوگری علمی هستند.
   • P.ii.2.x.4.         فرضیات مهم پشت هر استدلال باید با دقت مشخص شوند تا موضع اتخاذ شده و صحت آن بتواند مورد نقد قرار گیرد.
   • P.ii.2.z.4.          حتی با نتایج مشابه دانشمندان ممکن است صبر کنند تا یک بررسی چندین بار انجام پذیرد قبل از این‌که آن نتیجه را درست بدانند.
   • P.ii.2.aa.4.       سنت‌های متفاوتی در علم موجودند درمورد این‌که چه تحقیقاتی و چگونه باید انجام شوند اما همه در ارزش شناخت علل، استدلال و منطق مشترکند.
   • P.ii.2.cc.4.        فرضیات در علوم به‌طور گسترده‌ای مورد استفاده قرار می‌گیرند تا به چه داده‌هایی توجه کنند و این‌که آن‌ها را چگونه تحلیل کنند و به دنبال چه داده‌هایی بگردند.
   • P.ii.2.dd.4.       در بلند مدت نظریه‌ها این‌طور قضاوت می‌شوند که چقدر با دیگر نظریه‌ها هم‌خوانی دارند. چقدر با وسعت مشاهدات هماهنگی دارند و این‌که چقدر خوب قابل توصیف هستند و این‌که چقدر در یافته‌ها مؤثر بوده‌اند.
   • P.ii.2.gg.4.       در علم، آزمایش کردن، بازنگری و گاهی بازنشسته کردن نظریات جدید و قدیمی هرگز پایان نمی‌پذیرد. این روند باعث پیشرفت پی‌درپی تمدن بشری می‌شود اما نه پیشرفت حقیقت.
   • P.ii.2.ii.4.         ارزش تست کردن، بازبینی و دور ریختن تئوری‌ها به این است که دانشمندان برای ارائه نظریه قابل اعتماد و پیش‌گویی صحیح توانمندتر می‌شوند.
3. توصیف چیزها با دقت ممکن این امکان را به‌وجود می‌آورد که پژوهشگران مشاهداتشان را با هم مقایسه کنند.
   • P.ii.3.b.1.         وقتی مردم توصیف‌های متفاوتی از یک چیز می‌دهند بهتر است یک مشاهده انجام دهیم تا این‌که استدلال کنیم چه کسی درست می‌گوید.
   • P.ii.3.d.1.         مردم معمولاً درمورد چیزهای اطرافشان با مشاهده دقیق چیز یاد می‌گیرند اما گاهی اوقات آن‌ها را تحت تأثیر قرار می‌دهند و عکس‌العمل آن‌ها را مشاهده می‌کنند.
   • P.ii.3.e.1.         توصیف چیزها با دقت ممکن در علم بسیار مهم است چون به مردم کمک می‌کند مشاهداتشان را مقایسه کنند.
   • P.ii.3.g.1.         اگر بتوانیم برای ایده‌هایمان دلیل بیاوریم مردم بیش‌تر احتمال دارد حرفمان را باور کنند.
   • P.ii.3.h.2.         بعضی وقت‌ها بررسی‌های مشابه نتایج متفاوت می‌دهند چون اختلاف غیرقابل انتظاری در شرایط اولیه وجود دارد یا در روش‌های به کار رفته برای بررسی یا در چیزهای مورد آزمایش و حتی گاهی اوقات به خاطر عدم قطعیت در مشاهدات نتایج متفاوت می‌شوند.
   • P.ii.3.i.2.          نتایج بررسی‌های مشابه باید مورد بررسی قرار گیرند و برای آن‌ها دلیل جست‌وجو شود. این روند باعث پیشرفت علم می‌شود.
   • P.ii.3.j.2.          دفترچه یادداشت برای ثبت مشاهدات کمک می‌کند ایده‌ها را به‌دقت از مشاهدات جدا کنیم چون ایده‌ها پس از چندین مشاهده قابل نتیجه‌گیری هستند.
   • P.ii.3.m.2.        برقراری ارتباط یک بخش مهم انجام علم است.
   • P.ii.3.n.2.         بعضی اوقات دانشمندان توصیفات متفاوت برای یک مشاهده دارند و باید مشاهدات بیش‌تری داشته باشند تا اختلافاتشان حل شود.
   • P.ii.3.p.2.         برقراری ارتباط به دانشمندان کمک می‌کند دیگران را از کارهای خود مطلع نمایند و آن‌ها را در معرض نقد دیگران قرار داده و از کارهایشان مطلع شوند.
   • P.ii.3.q.2.         قابل مشاهده کردن نتایج به برقراری ارتباط بین دانشمندان کمک می‌کند.
   • P.ii.3.r.3.          یادداشت‌برداری صحیح، فکر باز و بازبینی برای به‌دست آوردن صحت در کار جست‌وجوگر اهمیت دارند.
   • P.ii.3.t.3.          تحقیقات علمی معمولاً شامل مجموعه‌ای از دلایل مربوط به هم می‌شود. هم استفاده از استدلال منطقی و هم کاربرد تصورات برای تصویرسازی فرضیات و هم توضیحات برای محسوس نشان دادن دلایل اجزائی از تحقیقات علمی هستند.
   • P.ii.3.w.3.        جست‌وجوگری‌های علمی معمولاً شامل مجموعه‌ای از اطلاعات به هم مربوط هستند. استفاده از استدلال منطقی، کاربرد تصورات در استفاده از فرضیات و توضیح برای این‌که اطلاعات، عمومی به‌نظر برسد از اجزای جست‌وجوگری علمی هستند.
   • P.ii.3.x.4.         فرضیات مهم پشت هر استدلال باید با دقت مشخص شوند تا موضع اتخاذ شده و صحت آن بتواند مورد نقد قرار گیرد.
   • P.ii.3.z.4.          حتی با نتایج مشابه دانشمندان ممکن است صبر کنند تا یک بررسی چندین بار انجام پذیرد قبل از این‌که آن نتیجه را درست بدانند.
   • P.ii.3.bb.4.       بعضی اوقات دانشمندان شرایط را کنترل می‌کنند تا اثر یک متغیر را بدانند. وقتی این کار ممکن نباشد سعی می‌کنند چندین مشاهده متنوع انجام دهند بلکه الگویی بیابند.
   • P.ii.3.ee.4.       جست‌وجوگری‌های علمی برای اهداف مختلفی اجرا و هدایت می‌شوند. مثلاً برای بررسی پدیده‌های جدید، بررسی نتایج پیشین و این‌که یک نظریه چقدر خوب پیش‌بینی می‌کند و مقایسه تئوری‌ها.
   • P.ii.3.ff.4.         هر چقدر هم که یک تئوری با مشاهدات بخواند، ممکن است تئوری توانمندتر و جامع‌تری با وسعت بیش‌تری از مشاهدات هم‌خوانی بیش‌تر داشته باشد.
   • P.ii.3.gg.4.       در علم، آزمایش کردن، بازنگری و گاهی بازنشسته کردن نظریات جدید و قدیمی هرگز پایان نمی‌پذیرد. این روند باعث پیشرفت پی‌درپی تمدن بشری می‌شود اما نه پیشرفت حقیقت.
4. یک پژوهشگر در مورد محیط اطراف خود کنجکاوی می‌کند و سؤالات و مسائل جدیدی طرح می‌کند.
   • P.ii.4.a.1.         سؤال کردن درباره جهان اطراف و اراده برای یافتن پاسخ آن‌ها با مشاهده و آزمون و خطا جزئی از فطرت بشری است.
   • P.ii.4.d.1.         مردم معمولاً درمورد چیزهای اطرافشان با مشاهده دقیق چیز یاد می‌گیرند اما گاهی اوقات آن‌ها را تحت تأثیر قرار می‌دهند و عکس‌العمل آن‌ها را مشاهده می‌کنند.
   • P.ii.4.f.1.          بعضی وقت‌ها مردم مطمئن نیستند چه اتفاقی خواهد افتاد چون تمام عواملی را که تأثیر دارند نمی‌دانند.
   • P.ii.4.k.2.         بیان روند کشف و نتیجه‌گیری برای قانع کردن دیگران اهمیت دارد. استدلال کفایت نمی‌کند.
   • P.ii.4.t.3.          تحقیقات علمی معمولاً شامل مجموعه‌ای از دلایل مربوط به هم می‌شود. هم استفاده از استدلال منطقی و هم کاربرد تصورات برای تصویرسازی فرضیات و هم توضیحات برای محسوس نشان دادن دلایل اجزائی از تحقیقات علمی هستند.
   • P.ii.4.w.3.        جست‌وجوگری‌های علمی معمولاً شامل مجموعه‌ای از اطلاعات به هم مربوط هستند. استفاده از استدلال منطقی، کاربرد تصورات در استفاده از فرضیات و توضیح برای این‌که اطلاعات، عمومی به‌نظر برسد از اجزای جست‌وجوگری علمی هستند.
   • P.ii.4.aa.4.       سنت‌های متفاوتی در علم موجودند درمورد این‌که چه تحقیقاتی و چگونه باید انجام شوند اما همه در ارزش شناخت علل، استدلال و منطق مشترکند.
   • P.ii.4.bb.4.       بعضی اوقات دانشمندان شرایط را کنترل می‌کنند تا اثر یک متغیر را بدانند. وقتی این کار ممکن نباشد سعی می‌کنند چندین مشاهده متنوع انجام دهند بلکه الگویی بیابند.
   • P.ii.4.cc.4.        فرضیات در علوم به‌طور گسترده‌ای مورد استفاده قرار می‌گیرند تا به چه داده‌هایی توجه کنند و این‌که آن‌ها را چگونه تحلیل کنند و به دنبال چه داده‌هایی بگردند.
   • P.ii.4.dd.4.       در بلند مدت نظریه‌ها این‌طور قضاوت می‌شوند که چقدر با دیگر نظریه‌ها هم‌خوانی دارند. چقدر با وسعت مشاهدات هماهنگی دارند و این‌که چقدر خوب قابل توصیف هستند و این‌که چقدر در یافته‌ها مؤثر بوده‌اند.
   • P.ii.4.ee.4.       جست‌وجوگری‌های علمی برای اهداف مختلفی اجرا و هدایت می‌شوند. مثلاً برای بررسی پدیده‌های جدید، بررسی نتایج پیشین و این‌که یک نظریه چقدر خوب پیش‌بینی می‌کند و مقایسه تئوری‌ها.
   • P.ii.4.ff.4.         هر چقدر هم که یک تئوری با مشاهدات بخواند، ممکن است تئوری توانمندتر و جامع‌تری با وسعت بیش‌تری از مشاهدات هم‌خوانی بیش‌تر داشته باشد.
5. شنیدن و تحمل آراء مخالف به پژوهشگر کمک می‌کند علمی‌تر تحقیق کند.
   • P.ii.5.b.1.         وقتی مردم توصیف‌های متفاوتی از یک چیز می‌دهند بهتر است یک مشاهده انجام دهیم تا این‌که استدلال کنیم چه کسی درست می‌گوید.
   • P.ii.5.l.2.          استدلال می‌تواند توسط احساسات قوی تحت تأثیر قرار گیرد.
   • P.ii.5.n.2.         بعضی اوقات دانشمندان توصیفات متفاوت برای یک مشاهده دارند و باید مشاهدات بیش‌تری داشته باشند تا اختلافاتشان حل شود.
   • P.ii.5.s.3.          اگر نتایج بررسی‌های علمی مشابه مختلف شد این یک تشخیص علمی است که آیا اختلافات بدیهی هستند یا قابل توجه. معمولاً مطالعات بیش‌تر برای نتیجه‌گیری لازم است.
   • P.ii.5.y.4.         استدلال‌هایی که در آن حقایق با نظریات شخصی مخلوط شده‌اند و نتیجه‌گیری‌هایی که به طور منطقی از دلایل ارائه‌شده حاصل نمی‌شوند باید شناخته شوند و مورد انتقاد قرار گیرند.
   • P.ii.5.dd.4.       در بلند مدت نظریه‌ها این‌طور قضاوت می‌شوند که چقدر با دیگر نظریه‌ها هم‌خوانی دارند. چقدر با وسعت مشاهدات هماهنگی دارند و این‌که چقدر خوب قابل توصیف هستند و این‌که چقدر در یافته‌ها مؤثر بوده‌اند.
6. یک محقق در مراجعه به یک مسئله از اطلاعات سایرین و سایر اطلاعات در دسترس برای رسیدن به حقیقت استفاده می‌کند.
   • P.ii.6.c.1.         اگر یک بررسی علمی به همان روش مرتبه اول انجام شود انتظار داریم نتایجی بسیار شبیه به بار اول به‌دست بیاوریم.
   • P.ii.6.e.1.         توصیف چیزها با دقت ممکن در علم بسیار مهم است چون به مردم کمک می‌کند مشاهداتشان را مقایسه کنند.
   • P.ii.6.k.2.         بیان روند کشف و نتیجه‌گیری برای قانع کردن دیگران اهمیت دارد. استدلال کفایت نمی‌کند.
   • P.ii.6.o.2.         همه ما می‌توانیم ادعاهای خود را با حقایقی که در کتاب‌ها، مقالات، پایانه‌های کامپیوتری وجود دارد محکم‌تر کنیم و منابع خود را مشخص کنیم. همین انتظار را باید از دیگران داشته باشیم.
   • P.ii.6.p.2.         برقراری ارتباط به دانشمندان کمک می‌کند دیگران را از کارهای خود مطلع نمایند و آن‌ها را در معرض نقد دیگران قرار داده و از کارهایشان مطلع شوند.
   • P.ii.6.u.3.         فرضیات ارزش‌مند هستند حتی اگر معلوم شود درست نبوده‌اند. به شرط آن‌که به تحقیقات ثمربخشی منجر شوند.
   • P.ii.6.v.3.         بعضی ابعاد استدلال قواعد سخت و محکمی دارد و بعضی ابعاد چنین نیست. اگر افراد قوانینی بدانند که همیشه برقرار است یا اطلاعات خوبی در مورد موقعیت خاصی داشته باشند استدلال می‌تواند به آن‌ها کمک کند آن موقعیت را بهتر بفهمند.
   • P.ii.6.x.4.         فرضیات مهم پشت هر استدلال باید با دقت مشخص شوند تا موضع اتخاذ شده و صحت آن بتواند مورد نقد قرار گیرد.
   • P.ii.6.gg.4.       در علم، آزمایش کردن، بازنگری و گاهی بازنشسته کردن نظریات جدید و قدیمی هرگز پایان نمی‌پذیرد. این روند باعث پیشرفت پی‌درپی تمدن بشری می‌شود اما نه پیشرفت حقیقت.
   • P.ii.6.hh.4.       هر از چند گاه دیدگاه علمی به درک روابط علت و معلولی پدیده‌ها تکامل می‌یابد.

1. ریاضیات به قانون‌مند شدن زندگی روزمره کمک می‌کند.
   • P.iii.1.a.1.        در بازی‌های کودکانه، دانش‌آموز با حل مسائل زندگی روزمره از طریق ریاضی برخورد پیدا می‌کند.
   • P.iii.1.f.2.         در بازی‌های دسته‌جمعی با حل مسئله به‌طور دسته‌جمعی سروکار داریم.
   • P.iii.1.g.2.        ریاضیات در قانون‌مند شدن زندگی کمک می‌کند.
   • P.iii.1.k.2.        انسان‌ها در زندگی روزمره از الگوهای ریاضی مشترکی پیروی می‌کنند.
   • P.iii.1.l.2.         دانش‌آموز باید در حل مسائل خانواده با والدین مشارکت کند.
   • P.iii.1.v.3.        قضاوت کردن در مسائل زندگی روزمره باید مبتنی بر بررسی علمی باشد.
   • P.iii.1.x.4.        ریاضیات سعی می‌کند با کمّی کردن ابعاد مختلف زندگی روزمره آن‌ها را قابل بررسی و کنترل نماید.
   • P.iii.1.aa.4.      بسیاری از روش‌های استدلال ریاضی به ما کمک می‌کنند تا در زندگی روزمره باورهایی را استنتاج کنیم که مربوط به اشیاء ریاضی نیستند.
   • P.iii.1.bb.4.      آموزش ریاضیات به نفس آماده کمک می‌کند که در محاسبه نفس مهارت کسب کند.
2. انسان‌ها در زندگی روزمره از الگو‌های ریاضی مشترکی پیروی می‌کنند.
   • P.iii.2.b.1.        هنگام چیدن پازل، تفکر تصویری در کودکان تقویت می‌شود.
   • P.iii.2.c.1.        مفهوم تساوی در ابعاد وسیع در زندگی روزمره مطرح است. مفاهیم ریاضی بسیاری ازاین مفهوم انتزاع می‌شوند که در زندگی روزمره کاربرد دارند.
   • P.iii.2.g.2.        ریاضیات در قانون‌مند شدن زندگی کمک می‌کند.
   • P.iii.2.k.2.        انسان‌ها در زندگی روزمره از الگوهای ریاضی مشترکی پیروی می‌کنند.
   • P.iii.2.r.3.         قبل از یک مشکل، در حالت کلی بهتر است حالات خاص را بررسی کنیم.
   • P.iii.2.x.4.        ریاضیات سعی می‌کند با کمّی کردن ابعاد مختلف زندگی روزمره آن‌ها را قابل بررسی و کنترل نماید.
   • P.iii.2.y.4.        اگر از ریاضیات برای حل مشکلات استفاده کنیم، بسیاری از ابعاد زندگی روزمره به‌سادگی قابل مطالعه هستند، اما بسیاری دیگر مانند ابعاد انسانی به‌سادگی به زبان ریاضی ترجمه نمی‌شوند.
   • P.iii.2.z.4.         روش‌های مختلفی برای کمّی کردن یک مسئله در زندگی روزمره وجود دارد.
   • P.iii.2.aa.4.      بسیاری از روش‌های استدلال ریاضی به ما کمک می‌کنند تا در زندگی روزمره باورهایی را استنتاج کنیم که مربوط به اشیاء ریاضی نیستند.
3. بدون دانش ریاضی زندگی روزمره مختل می‌شود.
   • P.iii.3.e.1.        هنگام خرید و فروش با جمع و تفریق اعداد سر و کار داریم.
   • P.iii.3.p.3.        بدون دانش ریاضی، زندگی روزمره مختل می‌شود.
   • P.iii.3.u.3.        برای مواجه شدن با مسائل باز زندگی روزمره که دارای فرمول‌بندی دقیقی نیستند، باید به تکنیک‌های ریاضی، مهارت‌های تفکر و مدل‌سازی مسلح باشیم.
   • P.iii.3.y.4.        اگر از ریاضیات برای حل مشکلات استفاده کنیم، بسیاری از ابعاد زندگی روزمره به‌سادگی قابل مطالعه هستند، اما بسیاری دیگر مانند ابعاد انسانی به‌سادگی به زبان ریاضی ترجمه نمی‌شوند.
   • P.iii.3.bb.4.      آموزش ریاضیات به نفس آماده کمک می‌کند که در محاسبه نفس مهارت کسب کند.
4. طرح مسائل نو در دست‌یابی به ناشناخته‌ها کمک می‌کند.
   • P.iii.4.h.2.        سعی می‌کنیم مشکلات روزمره را با چندین روش حل پاسخ‌گو باشیم تا اگر بعضی از روش‌ها در اجرا مشکل داشت از دیگری مدد جوییم.
   • P.iii.4.j.2.         مسائل زندگی روزمره معمولاً باز هستند و فرمول‌بندی دقیق ریاضی ندارند.
   • P.iii.4.n.3.        وقتی یک تکنیک ریاضی پیدا می‌شود، باید سعی کنیم مسائل بیش‌تری از زندگی روزمره را به آن مربوط نماییم.
   • P.iii.4.o.3.        تنوع فرمول‌بندی ریاضی مسائل روزمره،‌ به ما دید بازتری نسبت به مسائل می‌دهد.
   • P.iii.4.q.3.        تغییر شرایط زندگی موجب ایجاد مسائل جدید می‌شود.
   • P.iii.4.t.3.         طرح مسائل نو در دست‌یابی به ناشناخته‌ها کمک می‌کند.
   • P.iii.4.aa.4.      بسیاری از روش‌های استدلال ریاضی به ما کمک می‌کنند تا در زندگی روزمره باورهایی را استنتاج کنیم که مربوط به اشیاء ریاضی نیستند.
   • P.iii.4.bb.4.      آموزش ریاضیات به نفس آماده کمک می‌کند که در محاسبه نفس مهارت کسب کند.
5. قضاوت ‌کردن در مسائل زندگی روزمره باید مبتنی بر بررسی علمی باشد.
   • P.iii.5.g.2.        ریاضیات در قانون‌مند شدن زندگی کمک می‌کند.
   • P.iii.5.h.2.        سعی می‌کنیم مشکلات روزمره را با چندین روش حل پاسخ‌گو باشیم تا اگر بعضی از روش‌ها در اجرا مشکل داشت از دیگری مدد جوییم.
   • P.iii.5.l.2.         دانش‌آموز باید در حل مسائل خانواده با والدین مشارکت کند.
   • P.iii.5.v.3.        قضاوت کردن در مسائل زندگی روزمره باید مبتنی بر بررسی علمی باشد.
   • P.iii.5.w.4.       در مسائل زندگی روزمره در بسیاری از موارد نباید به یک استدلال اکتفا کرد، بلکه چندین استدلال مستقل برای تحکیم یک تصمیم یا باور باید در دسترس باشد.
6. برای حل مسائل زندگی روزمره ناچار به توسعه ریاضیات هستیم.
   • P.iii.6.c.1.        مفهوم تساوی در ابعاد وسیع در زندگی روزمره مطرح است. مفاهیم ریاضی بسیاری ازاین مفهوم انتزاع می‌شوند که در زندگی روزمره کاربرد دارند.
   • P.iii.6.d.1.        دانش‌آموز می‌تواند با کمک ریاضیات مسائل روزمره را بهتر تشخیص دهد و بهتر بشناسد.
   • P.iii.6.e.1.        هنگام خرید و فروش با جمع و تفریق اعداد سر و کار داریم.
   • P.iii.6.i.2.         از بین چندین راه‌حل برای یک مشکل روزمره باید مناسب‌ترین آن‌ها را انتخاب کنیم.
   • P.iii.6.j.2.         مسائل زندگی روزمره معمولاً باز هستند و فرمول‌بندی دقیق ریاضی ندارند.
   • P.iii.6.n.3.        وقتی یک تکنیک ریاضی پیدا می‌شود، باید سعی کنیم مسائل بیش‌تری از زندگی روزمره را به آن مربوط نماییم.
   • P.iii.6.o.3.        تنوع فرمول‌بندی ریاضی مسائل روزمره،‌ به ما دید بازتری نسبت به مسائل می‌دهد.
   • P.iii.6.p.3.        بدون دانش ریاضی، زندگی روزمره مختل می‌شود.
   • P.iii.6.s.3.         گاهی اوقات مشکلاتی در زندگی روزمره باعث می‌شوند ریاضیات قدیمی با نگاهی جدید مورد بررسی قرار گیرد.
   • P.iii.6.t.3.         طرح مسائل نو در دست‌یابی به ناشناخته‌ها کمک می‌کند.
   • P.iii.6.u.3.        برای مواجه شدن با مسائل باز زندگی روزمره که دارای فرمول‌بندی دقیقی نیستند، باید به تکنیک‌های ریاضی، مهارت‌های تفکر و مدل‌سازی مسلح باشیم.
   • P.iii.6.w.4.       در مسائل زندگی روزمره در بسیاری از موارد نباید به یک استدلال اکتفا کرد، بلکه چندین استدلال مستقل برای تحکیم یک تصمیم یا باور باید در دسترس باشد.
   • P.iii.6.y.4.        اگر از ریاضیات برای حل مشکلات استفاده کنیم، بسیاری از ابعاد زندگی روزمره به‌سادگی قابل مطالعه هستند، اما بسیاری دیگر مانند ابعاد انسانی به‌سادگی به زبان ریاضی ترجمه نمی‌شوند.
   • P.iii.6.bb.4.      آموزش ریاضیات به نفس آماده کمک می‌کند که در محاسبه نفس مهارت کسب کند.
7. تغییرات شرایط زندگی موجب پیدایش مشکلات و مسائل جدید می‌شود و ریاضیات می‌تواند به حل این مسائل جدید کمک کند.
   • P.iii.7.c.1.        مفهوم تساوی در ابعاد وسیع در زندگی روزمره مطرح است. مفاهیم ریاضی بسیاری ازاین مفهوم انتزاع می‌شوند که در زندگی روزمره کاربرد دارند.
   • P.iii.7.d.1.        دانش‌آموز می‌تواند با کمک ریاضیات مسائل روزمره را بهتر تشخیص دهد و بهتر بشناسد.
   • P.iii.7.h.2.        سعی می‌کنیم مشکلات روزمره را با چندین روش حل پاسخ‌گو باشیم تا اگر بعضی از روش‌ها در اجرا مشکل داشت از دیگری مدد جوییم.
   • P.iii.7.i.2.         از بین چندین راه‌حل برای یک مشکل روزمره باید مناسب‌ترین آن‌ها را انتخاب کنیم.
   • P.iii.7.j.2.         مسائل زندگی روزمره معمولاً باز هستند و فرمول‌بندی دقیق ریاضی ندارند.
   • P.iii.7.n.3.        وقتی یک تکنیک ریاضی پیدا می‌شود، باید سعی کنیم مسائل بیش‌تری از زندگی روزمره را به آن مربوط نماییم.
   • P.iii.7.o.3.        تنوع فرمول‌بندی ریاضی مسائل روزمره،‌ به ما دید بازتری نسبت به مسائل می‌دهد.
   • P.iii.7.q.3.        تغییر شرایط زندگی موجب ایجاد مسائل جدید می‌شود.
   • P.iii.7.s.3.         گاهی اوقات مشکلاتی در زندگی روزمره باعث می‌شوند ریاضیات قدیمی با نگاهی جدید مورد بررسی قرار گیرد.
   • P.iii.7.t.3.         طرح مسائل نو در دست‌یابی به ناشناخته‌ها کمک می‌کند.
   • P.iii.7.w.4.       در مسائل زندگی روزمره در بسیاری از موارد نباید به یک استدلال اکتفا کرد، بلکه چندین استدلال مستقل برای تحکیم یک تصمیم یا باور باید در دسترس باشد.
8. پرورش مهارت‌های تفکر کمک به حل مسائل زندگی روزمره می‌کند.
   • P.iii.8.a.1.        در بازی‌های کودکانه، دانش‌آموز با حل مسائل زندگی روزمره از طریق ریاضی برخورد پیدا می‌کند.
   • P.iii.8.b.1.        هنگام چیدن پازل، تفکر تصویری در کودکان تقویت می‌شود.
   • P.iii.8.d.1.        دانش‌آموز می‌تواند با کمک ریاضیات مسائل روزمره را بهتر تشخیص دهد و بهتر بشناسد.
   • P.iii.8.f.2.         در بازی‌های دسته‌جمعی با حل مسئله به‌طور دسته‌جمعی سروکار داریم.
   • P.iii.8.l.2.         دانش‌آموز باید در حل مسائل خانواده با والدین مشارکت کند.
   • P.iii.8.m.2.       تفکر جمعی درمورد مسائل روزمره، توانایی ارتباط و کار گروهی را تقویت می‌کند.
   • P.iii.8.r.3.         قبل از یک مشکل، در حالت کلی بهتر است حالات خاص را بررسی کنیم.
9. مدل‌سازی ریاضی یک روش اساسی برای حل مسائل زندگی روزمره است.
   • P.iii.9.a.1.        در بازی‌های کودکانه، دانش‌آموز با حل مسائل زندگی روزمره از طریق ریاضی برخورد پیدا می‌کند.
   • P.iii.9.e.1.        هنگام خرید و فروش با جمع و تفریق اعداد سر و کار داریم.
   • P.iii.9.i.2.         از بین چندین راه‌حل برای یک مشکل روزمره باید مناسب‌ترین آن‌ها را انتخاب کنیم.
   • P.iii.9.j.2.         مسائل زندگی روزمره معمولاً باز هستند و فرمول‌بندی دقیق ریاضی ندارند.
   • P.iii.9.o.3.        تنوع فرمول‌بندی ریاضی مسائل روزمره،‌ به ما دید بازتری نسبت به مسائل می‌دهد.
   • P.iii.9.p.3.        بدون دانش ریاضی، زندگی روزمره مختل می‌شود.
   • P.iii.9.r.3.         قبل از یک مشکل، در حالت کلی بهتر است حالات خاص را بررسی کنیم.
   • P.iii.9.u.3.        برای مواجه شدن با مسائل باز زندگی روزمره که دارای فرمول‌بندی دقیقی نیستند، باید به تکنیک‌های ریاضی، مهارت‌های تفکر و مدل‌سازی مسلح باشیم.
   • P.iii.9.x.4.        ریاضیات سعی می‌کند با کمّی کردن ابعاد مختلف زندگی روزمره آن‌ها را قابل بررسی و کنترل نماید.
   • P.iii.9.z.4.         روش‌های مختلفی برای کمّی کردن یک مسئله در زندگی روزمره وجود دارد.

1. بسیاری از ایده‌های ریاضی از طبیعت گرفته شده‌اند.
   • P.iv.1.a.1.        نیاز به اعداد از نیازهای طبیعی انسان است.
   • P.iv.1.b.1.        دایره، مربع، مثلث و سایر شکل‌ها در طبیعت و ساخته‌های انسان دیده می‌شود.
   • P.iv.1.c.1.         زبان اعداد در طبیعت وجود دارد و انسان آن را از طبیعت آموخته‌است.
   • P.iv.1.d.1.        ریاضیات را باید از طبیعت و جهان اطرافمان بیاموزیم.
   • P.iv.1.e.2.        باید برای یافتن ایده‌های ریاضی در طبیعت اطراف خود را جست‌و‌جو کنیم.
   • P.iv.1.f.2.         در قسمت‌های مختلف طبیعت الگوهای ریاضی مشترکی وجود دارد.
   • P.iv.1.g.2.        می‌توان در طبیعت جست‌و‌جو نمود و ایده‌های ریاضی جدیدی پیدا کرد.
   • P.iv.1.h.2.        ایده‌هایی که از طبیعت می‌گیریم برای استفاده بهتر باید به زبان ریاضی ترجمه شوند.           
   • P.iv.1.i.3.         ایده‌های جدیدی که دانش‌آموز از طبیعت می‌آموزد، در ریاضیاتی که از پیش آموخته کاربرد دارد.
   • P.iv.1.j.3.         برای ایده‌های جدید ریاضی باید زبان ریاضی مناسب به‌وجود بیاوریم و نمادهای مناسب خلق کنیم.
   • P.iv.1.k.3.         برای حل مسائل زندگی روزمره می‌توان از طبیعت برای ساختن مدل‌های جدید الهام گرفت.
   • P.iv.1.m.3.       طبیعت همیشه ساده‌ترین راه را انتخاب می‌کند.
   • P.iv.1.n.4.        رشد علم ریاضیات، همان‌گونه که بر مجردات تأکید دارد، می‌تواند ما را در شناخت بهتر طبیعت یاری کند.
   • P.iv.1.o.4.        ریاضی، مطالعه هر الگو یا ارتباط است اما علوم طبیعی تنها مربوط به الگوهایی است که قابل مشاهده است. ریاضیات از طبیعت شروع شد اما به‌زودی روی مجردسازی دنیای مادی تمرکز کرد و آنگاه به‌دنبال ارتباط بین این موجودات مجرد گشت.
   • P.iv.1.p.4.        بیش‌تر اتفاق می‌افتد که مصداق ایده‌های کشف‌شده توسط بشر، بعداً در طبیعت هم یافت شود. این نشان می‌دهد که بین طبیعت و ساختار ذهن ما هماهنگی وجود دارد.
   • P.iv.1.q.4.        مانند بسیاری از علوم دیگر، سادگی یکی از والاترین ارزش‌ها در ریاضی است. مهم است بدانیم کم‌ترین قواعدی که یک گزاره را نتیجه می‌دهند کدامند.
   • P.iv.1.r.4.         برای آن‌که ریاضیات در مسیر اصلی خود رشد یابد، باید سعی شود ارتباط آن با قانون‌مندی طبیعت برقرار بماند.
   • P.iv.1.s.4.         طبیعت صورتی تنزل‌یافته از عالم مجردات است. به همین دلیل است که ریاضیات به‌عنوان علمی مجرد برای مطالعه طبیعت کارآمد است.
   • P.iv.1.t.4.         معلم در مسیر حرکت به‌سوی شناخت خداوند، از وادی ریاضیات می‌گذرد.
2. نیاز به اعداد از نیازهای طبیعی بشر است.
   • P.iv.2.a.1.        نیاز به اعداد از نیازهای طبیعی انسان است.
   • P.iv.2.c.1.         زبان اعداد در طبیعت وجود دارد و انسان آن را از طبیعت آموخته‌است.
   • P.iv.2.h.2.        ایده‌هایی که از طبیعت می‌گیریم برای استفاده بهتر باید به زبان ریاضی ترجمه شوند.           
   • P.iv.2.i.3.         ایده‌های جدیدی که دانش‌آموز از طبیعت می‌آموزد، در ریاضیاتی که از پیش آموخته کاربرد دارد.
3. ریاضیات کمک می‌کند طبیعت اطراف خود را بشناسیم و برای شناخت بهتر طبیعت ناچار به توسعه ریاضیات هستیم.
   • P.iv.3.a.1.        نیاز به اعداد از نیازهای طبیعی انسان است.
   • P.iv.3.b.1.        دایره، مربع، مثلث و سایر شکل‌ها در طبیعت و ساخته‌های انسان دیده می‌شود.        
   • P.iv.3.f.2.         در قسمت‌های مختلف طبیعت الگوهای ریاضی مشترکی وجود دارد.
   • P.iv.3.i.3.         ایده‌های جدیدی که دانش‌آموز از طبیعت می‌آموزد، در ریاضیاتی که از پیش آموخته کاربرد دارد.
   • P.iv.3.k.3.         برای حل مسائل زندگی روزمره می‌توان از طبیعت برای ساختن مدل‌های جدید الهام گرفت.
   • P.iv.3.l.3.         از ریاضیات می‌توان برای کنترل طبیعت استفاده کرد.
   • P.iv.3.n.4.        رشد علم ریاضیات، همان‌گونه که بر مجردات تأکید دارد، می‌تواند ما را در شناخت بهتر طبیعت یاری کند.
   • P.iv.3.p.4.        بیش‌تر اتفاق می‌افتد که مصداق ایده‌های کشف‌شده توسط بشر، بعداً در طبیعت هم یافت شود. این نشان می‌دهد که بین طبیعت و ساختار ذهن ما هماهنگی وجود دارد.
   • P.iv.3.r.4.         برای آن‌که ریاضیات در مسیر اصلی خود رشد یابد، باید سعی شود ارتباط آن با قانون‌مندی طبیعت برقرار بماند.
   • P.iv.3.s.4.         طبیعت صورتی تنزل‌یافته از عالم مجردات است. به همین دلیل است که ریاضیات به‌عنوان علمی مجرد برای مطالعه طبیعت کارآمد است.
   • P.iv.3.t.4.         معلم در مسیر حرکت به‌سوی شناخت خداوند، از وادی ریاضیات می‌گذرد.
4. با استفاده از ریاضیات می‌توان در جهت کنترل طبیعت قدم برداشت.
   • P.iv.4.b.1.        دایره، مربع، مثلث و سایر شکل‌ها در طبیعت و ساخته‌های انسان دیده می‌شود.        
   • P.iv.4.j.3.         برای ایده‌های جدید ریاضی باید زبان ریاضی مناسب به‌وجود بیاوریم و نمادهای مناسب خلق کنیم.
   • P.iv.4.k.3.         برای حل مسائل زندگی روزمره می‌توان از طبیعت برای ساختن مدل‌های جدید الهام گرفت.
   • P.iv.4.l.3.         از ریاضیات می‌توان برای کنترل طبیعت استفاده کرد.
   • P.iv.4.n.4.        رشد علم ریاضیات، همان‌گونه که بر مجردات تأکید دارد، می‌تواند ما را در شناخت بهتر طبیعت یاری کند.
   • P.iv.4.o.4.        ریاضی، مطالعه هر الگو یا ارتباط است اما علوم طبیعی تنها مربوط به الگوهایی است که قابل مشاهده است. ریاضیات از طبیعت شروع شد اما به‌زودی روی مجردسازی دنیای مادی تمرکز کرد و آنگاه به‌دنبال ارتباط بین این موجودات مجرد گشت.
   • P.iv.4.r.4.         برای آن‌که ریاضیات در مسیر اصلی خود رشد یابد، باید سعی شود ارتباط آن با قانون‌مندی طبیعت برقرار بماند.
5. طبیعت همیشه ساده‌ترین راه را انتخاب می‌کند.
   • P.iv.5.d.1.        ریاضیات را باید از طبیعت و جهان اطرافمان بیاموزیم.
   • P.iv.5.e.2.        باید برای یافتن ایده‌های ریاضی در طبیعت اطراف خود را جست‌و‌جو کنیم.
   • P.iv.5.f.2.         در قسمت‌های مختلف طبیعت الگوهای ریاضی مشترکی وجود دارد.
   • P.iv.5.g.2.        می‌توان در طبیعت جست‌و‌جو نمود و ایده‌های ریاضی جدیدی پیدا کرد.
   • P.iv.5.h.2.        ایده‌هایی که از طبیعت می‌گیریم برای استفاده بهتر باید به زبان ریاضی ترجمه شوند.           
   • P.iv.5.i.3.         ایده‌های جدیدی که دانش‌آموز از طبیعت می‌آموزد، در ریاضیاتی که از پیش آموخته کاربرد دارد.
   • P.iv.5.j.3.         برای ایده‌های جدید ریاضی باید زبان ریاضی مناسب به‌وجود بیاوریم و نمادهای مناسب خلق کنیم.
   • P.iv.5.m.3.       طبیعت همیشه ساده‌ترین راه را انتخاب می‌کند.
   • P.iv.5.q.4.        مانند بسیاری از علوم دیگر، سادگی یکی از والاترین ارزش‌ها در ریاضی است. مهم است بدانیم کم‌ترین قواعدی که یک گزاره را نتیجه می‌دهند کدامند.
   • P.iv.5.r.4.         برای آن‌که ریاضیات در مسیر اصلی خود رشد یابد، باید سعی شود ارتباط آن با قانون‌مندی طبیعت برقرار بماند.

1. فرضیه‌سازی عمدتاً باید بر تجربه استوار شده‌باشد.
   • P.v.1.a.1.         اغلب در کارهای علمی، کار کردن با یک تیم و مشارکت در یافته‌های دیگران مفید است. با وجود این، تمام اعضای تیم باید به نتیجه فردی خود راجع به این‌که یافته چیست رسیده باشند.
   • P.v.1.b.1.         همیشه باید شناخت ناشناخته‌ها را با آزمایش آغاز کرد.
   • P.v.1.e.2.         بعضی اوقات دانشمندان برای توضیح اتفاقات جهان خارج از مشاهدات کمک می‌گیرند و بعضی اوقات از تفکر.
   • P.v.1.f.2.          وقتی تحلیل دو پژوهشگر از یک پدیده متفاوت است، باید تجربه نشان دهد که کدام نظر معتبرتر است.
   • P.v.1.g.2.         اغلب تفسیرهای متفاوتی از یک رویداد می‌توان داد و همیشه نمی‌توان گفت که کدام‌یک درست است.
   • P.v.1.h.2.         اگر فقط داده‌هایی را انتخاب کنیم که انتظارات فردی را مجاب می‌کند، کار خطرناکی را مرتکب شده‌ایم.
   • P.v.1.i.2.          بعضی اوقات مردم قوانینی عمومی را برای توضیح چگونگی کارکرد چیزی از طریق خلاصه نمودن مشاهدات اختراع می‌کنند، ولی تمایل به عمومیت دادن زیادتر از حد تصور این قوانین عمومی با مشاهدات کم دارند.
   • P.v.1.j.2.          برای یقین، تجربه کافی نیست.
   • P.v.1.k.3.          تجربه‌های تکرارپذیر نقش مهمی در توسعه ریاضیات دارند.
   • P.v.1.m.3.        فرضیه‌سازی باید بر تجربه استوار شده‌باشد.
   • P.v.1.o.3.         اغلب آن‌چه مردم انتظار مشاهده آن را دارند، بر آن‌چه واقعاً مشاهده می‌کنند اثر دارد. اعتقاد بسیار قوی درمورد آن‌که چه اتفاقی باید بیفتد، آن‌ها را از جست‌و‌جو و پیدا کردن نتایج باز می‌دارد.
   • P.v.1.r.4.          انتظارات، حالات و تجربیات قبلی انسان روی چگونگی تعبیر و تفسیر تصورات یا ایده‌های جدید می‌تواند اثر بگذارد. مردم تمایل دارند تا شواهدی را که باورهایشان را به مبارزه می‌طلبند نادیده بگیرند و شواهدی را که از باورهایشان طرفداری می‌کنند بپذیرند.
2. ایده‌های ریاضی بر فرآیند کسب تجربه ما تأثیر می‌گذارند و برعکس.
   • P.v.2.d.1.         بعضی از دانش علمی ما قدیمی است، اما هنوز کاربرد دارد.
   • P.v.2.e.2.         بعضی اوقات دانشمندان برای توضیح اتفاقات جهان خارج از مشاهدات کمک می‌گیرند و بعضی اوقات از تفکر.
   • P.v.2.i.2.          بعضی اوقات مردم قوانینی عمومی را برای توضیح چگونگی کارکرد چیزی از طریق خلاصه نمودن مشاهدات اختراع می‌کنند، ولی تمایل به عمومیت دادن زیادتر از حد تصور این قوانین عمومی با مشاهدات کم دارند.
   • P.v.2.k.3.          تجربه‌های تکرارپذیر نقش مهمی در توسعه ریاضیات دارند.
   • P.v.2.l.3.          مدل‌های متفاوتی می‌توانند برای نمایش یک چیز به‌کار روند. استفاده از یک نظریه مناسب یکی از لحظاتی است که شهود و خلاقیت در علم و مهندسی به‌کار می‌آیند.
   • P.v.2.p.4.         همین که فردی یک قانون عمومی را پذیرفت، او مواردی را که موافق این قانون است بیش‌تر مورد توجه قرار می‌دهد و مواردی را که موافق نیستند نادیده می‌گیرد.
   • P.v.2.q.4.         برای پرهیز از مشاهدات غرض‌ورزانه، بعضی اوقات در مطالعات علمی از مشاهده‌گرانی که نمی‌دانند منتظر چه نتیجه‌ای هستند استفاده می‌شود.
   • P.v.2.r.4.          انتظارات، حالات و تجربیات قبلی انسان روی چگونگی تعبیر و تفسیر تصورات یا ایده‌های جدید می‌تواند اثر بگذارد. مردم تمایل دارند تا شواهدی را که باورهایشان را به مبارزه می‌طلبند نادیده بگیرند و شواهدی را که از باورهایشان طرفداری می‌کنند بپذیرند.
   • P.v.2.s.4.          دانشمندان در هر گروه تحقیقاتی بر آن هستند که چیزها را یکسان ببینند. حتی گروهی از دانشمندان نیز ممکن است در بررسی واقع‌بینانه روش‌ها و یافته‌هایشان مشکل داشته‌باشند. به همین دلیل از گروه‌های علمی انتظار می‌رود تا به‌دنبال منابع احتمالی غرض‌ورزی در طراحی تحقیقاتشان و تحلیل داده‌هایشان و در استدلال‌هایشان جست‌و‌جو کنند.
   • P.v.2.t.4.          جهت‌گیری تحقیقات علمی متأثر از فرهنگ دانشمند است و به سؤالاتی که مورد توجه اوست یا به روش‌های تحقیقاتی که به‌نظرش احتمالاً کارآمدتر هستند، اولویت می‌دهد.
3. تجربه به درونی‌ شدن آموخته‌ها کمک می‌کند.
   • P.v.3.a.1.         اغلب در کارهای علمی، کار کردن با یک تیم و مشارکت در یافته‌های دیگران مفید است. با وجود این، تمام اعضای تیم باید به نتیجه فردی خود راجع به این‌که یافته چیست رسیده باشند.
   • P.v.3.d.1.         بعضی از دانش علمی ما قدیمی است، اما هنوز کاربرد دارد.
   • P.v.3.k.3.          تجربه‌های تکرارپذیر نقش مهمی در توسعه ریاضیات دارند.
   • P.v.3.l.3.          مدل‌های متفاوتی می‌توانند برای نمایش یک چیز به‌کار روند. استفاده از یک نظریه مناسب یکی از لحظاتی است که شهود و خلاقیت در علم و مهندسی به‌کار می‌آیند.
   • P.v.3.m.3.        فرضیه‌سازی باید بر تجربه استوار شده‌باشد.
   • P.v.3.o.3.         اغلب آن‌چه مردم انتظار مشاهده آن را دارند، بر آن‌چه واقعاً مشاهده می‌کنند اثر دارد. اعتقاد بسیار قوی درمورد آن‌که چه اتفاقی باید بیفتد، آن‌ها را از جست‌و‌جو و پیدا کردن نتایج باز می‌دارد.
   • P.v.3.p.4.         همین که فردی یک قانون عمومی را پذیرفت، او مواردی را که موافق این قانون است بیش‌تر مورد توجه قرار می‌دهد و مواردی را که موافق نیستند نادیده می‌گیرد.
   • P.v.3.q.4.         برای پرهیز از مشاهدات غرض‌ورزانه، بعضی اوقات در مطالعات علمی از مشاهده‌گرانی که نمی‌دانند منتظر چه نتیجه‌ای هستند استفاده می‌شود.
   • P.v.3.r.4.          انتظارات، حالات و تجربیات قبلی انسان روی چگونگی تعبیر و تفسیر تصورات یا ایده‌های جدید می‌تواند اثر بگذارد. مردم تمایل دارند تا شواهدی را که باورهایشان را به مبارزه می‌طلبند نادیده بگیرند و شواهدی را که از باورهایشان طرفداری می‌کنند بپذیرند.
   • P.v.3.s.4.          دانشمندان در هر گروه تحقیقاتی بر آن هستند که چیزها را یکسان ببینند. حتی گروهی از دانشمندان نیز ممکن است در بررسی واقع‌بینانه روش‌ها و یافته‌هایشان مشکل داشته‌باشند. به همین دلیل از گروه‌های علمی انتظار می‌رود تا به‌دنبال منابع احتمالی غرض‌ورزی در طراحی تحقیقاتشان و تحلیل داده‌هایشان و در استدلال‌هایشان جست‌و‌جو کنند.
   • P.v.3.t.4.          جهت‌گیری تحقیقات علمی متأثر از فرهنگ دانشمند است و به سؤالاتی که مورد توجه اوست یا به روش‌های تحقیقاتی که به‌نظرش احتمالاً کارآمدتر هستند، اولویت می‌دهد.
4. برای یقین تجربه کافی نیست.
   • P.v.4.b.1.         همیشه باید شناخت ناشناخته‌ها را با آزمایش آغاز کرد.
   • P.v.4.c.1.          صحت تحلیل ما از آزمایش و نتایج آن باید دوباره مورد آزمایش قرار داده‌شود.
   • P.v.4.f.2.          وقتی تحلیل دو پژوهشگر از یک پدیده متفاوت است، باید تجربه نشان دهد که کدام نظر معتبرتر است.
   • P.v.4.g.2.         اغلب تفسیرهای متفاوتی از یک رویداد می‌توان داد و همیشه نمی‌توان گفت که کدام‌یک درست است.
   • P.v.4.h.2.         اگر فقط داده‌هایی را انتخاب کنیم که انتظارات فردی را مجاب می‌کند، کار خطرناکی را مرتکب شده‌ایم.
   • P.v.4.i.2.          بعضی اوقات مردم قوانینی عمومی را برای توضیح چگونگی کارکرد چیزی از طریق خلاصه نمودن مشاهدات اختراع می‌کنند، ولی تمایل به عمومیت دادن زیادتر از حد تصور این قوانین عمومی با مشاهدات کم دارند.
   • P.v.4.j.2.          برای یقین، تجربه کافی نیست.
   • P.v.4.m.3.        فرضیه‌سازی باید بر تجربه استوار شده‌باشد.
   • P.v.4.n.3.         دانشمندان از خطرات انتظارات از پیش تعیین‌شده در قضاوت‌های خود آگاهند و در هنگام طراحی تحقیقات و آزمایشات داده‌ها از آن دوری می‌جویند. یک راه اطمینان این است که محقق دیگری نیز مطالعات مستقلی روی سؤالی یکسان به انجام برساند.
5. تجربه‌های تکرارپذیر نقش مهمی در توسعه ریاضیات دارند.
   • P.v.5.b.1.         همیشه باید شناخت ناشناخته‌ها را با آزمایش آغاز کرد.
   • P.v.5.c.1.          صحت تحلیل ما از آزمایش و نتایج آن باید دوباره مورد آزمایش قرار داده‌شود.
   • P.v.5.f.2.          وقتی تحلیل دو پژوهشگر از یک پدیده متفاوت است، باید تجربه نشان دهد که کدام نظر معتبرتر است.
   • P.v.5.i.2.          بعضی اوقات مردم قوانینی عمومی را برای توضیح چگونگی کارکرد چیزی از طریق خلاصه نمودن مشاهدات اختراع می‌کنند، ولی تمایل به عمومیت دادن زیادتر از حد تصور این قوانین عمومی با مشاهدات کم دارند.
   • P.v.5.k.3.          تجربه‌های تکرارپذیر نقش مهمی در توسعه ریاضیات دارند.
   • P.v.5.m.3.        فرضیه‌سازی باید بر تجربه استوار شده‌باشد.
   • P.v.5.n.3.         دانشمندان از خطرات انتظارات از پیش تعیین‌شده در قضاوت‌های خود آگاهند و در هنگام طراحی تحقیقات و آزمایشات داده‌ها از آن دوری می‌جویند. یک راه اطمینان این است که محقق دیگری نیز مطالعات مستقلی روی سؤالی یکسان به انجام برساند.
   • P.v.5.p.4.         همین که فردی یک قانون عمومی را پذیرفت، او مواردی را که موافق این قانون است بیش‌تر مورد توجه قرار می‌دهد و مواردی را که موافق نیستند نادیده می‌گیرد.
   • P.v.5.q.4.         برای پرهیز از مشاهدات غرض‌ورزانه، بعضی اوقات در مطالعات علمی از مشاهده‌گرانی که نمی‌دانند منتظر چه نتیجه‌ای هستند استفاده می‌شود.
   • P.v.5.t.4.          جهت‌گیری تحقیقات علمی متأثر از فرهنگ دانشمند است و به سؤالاتی که مورد توجه اوست یا به روش‌های تحقیقاتی که به‌نظرش احتمالاً کارآمدتر هستند، اولویت می‌دهد.
6. وقتی تحلیل دو پژوهشگر از یک پدیده متفاوت است، باید تجربه نشان بدهد که کدام نظر معتبرتر است.
   • P.v.6.c.1.          صحت تحلیل ما از آزمایش و نتایج آن باید دوباره مورد آزمایش قرار داده‌شود.
   • P.v.6.f.2.          وقتی تحلیل دو پژوهشگر از یک پدیده متفاوت است، باید تجربه نشان دهد که کدام نظر معتبرتر است.
   • P.v.6.g.2.         اغلب تفسیرهای متفاوتی از یک رویداد می‌توان داد و همیشه نمی‌توان گفت که کدام‌یک درست است.
   • P.v.6.l.3.          مدل‌های متفاوتی می‌توانند برای نمایش یک چیز به‌کار روند. استفاده از یک نظریه مناسب یکی از لحظاتی است که شهود و خلاقیت در علم و مهندسی به‌کار می‌آیند.
   • P.v.6.n.3.         دانشمندان از خطرات انتظارات از پیش تعیین‌شده در قضاوت‌های خود آگاهند و در هنگام طراحی تحقیقات و آزمایشات داده‌ها از آن دوری می‌جویند. یک راه اطمینان این است که محقق دیگری نیز مطالعات مستقلی روی سؤالی یکسان به انجام برساند.
   • P.v.6.s.4.          دانشمندان در هر گروه تحقیقاتی بر آن هستند که چیزها را یکسان ببینند. حتی گروهی از دانشمندان نیز ممکن است در بررسی واقع‌بینانه روش‌ها و یافته‌هایشان مشکل داشته‌باشند. به همین دلیل از گروه‌های علمی انتظار می‌رود تا به‌دنبال منابع احتمالی غرض‌ورزی در طراحی تحقیقاتشان و تحلیل داده‌هایشان و در استدلال‌هایشان جست‌و‌جو کنند.

1. تکنولوژی در برابر فراهم کردن امکاناتی که به ما می‌دهد محدودیت‌هایی نیز دارد.
   • P.vi.1.b.1.        زمانی که گروهی از مردم می‌خواهند چیزی را بسازند یا چیز جدیدی را امتحان کنند، باید از پیش تعیین کنند که این چیز چه تأثیری ممکن است بر مردم بگذارد.
   • P.vi.1.c.1.         رسیدن به چیزی که یک نفر می‌خواهد ممکن است به معنی از دست دادن چیز دیگری باشد.
   • P.vi.1.d.2.        تکنولوژی جزء تفکیک‌ناپذیر فرهنگ انسان‌هاست که هم اجتماع را شکل می‌دهد و هم از اجتماع شکل می‌پذیرد. تکنولوژی در اختیار مردم به‌طور وسیع روی زندگی اثر می‌گذارد.
   • P.vi.1.f.2.         تکنولوژی‌ها اغلب همان‌طور که سودبخش هستند، مضراتی نیز دارند و یک تکنولوژی که به بعضی افراد یا گروه‌ها کمک می‌کند ممکن است به دیگران ضرر بزند.
   • P.vi.1.h.2.        در تصمیم‌گیری‌ها صرف وقت برای بررسی فواید و مضرات جایگزین‌ها مفید است.
   • P.vi.1.i.2.         هیچ طرحی کامل و بدون عیب نیست. طرحی که از بعضی جنبه‌ها بهترین است، ممکن است در جنبه‌های دیگر ضعف داشته‌باشد. باید بعضی جهات را فدای بعضی دیگر کرد.
   • P.vi.1.j.3.         تکنولوژی‌های جدید برخی ریسک‌ها را افزایش می‌دهند و برخی را کاهش. برخی از این تکنولوژی‌ها که طول و کیفیت زندگی مردم را بهبود بخشیده، خطرها و ریسک‌های جدید را به‌همراه داشت.
   • P.vi.1.k.3.         تمام تکنولوژی‌ها اثراتی به‌جز آن‌هایی که در طراحی آن‌ها پیش‌بینی شده، دارند که برخی را ممکن است بتوان پیش‌بینی کرد و برخی را خیر.
   • P.vi.1.m.3.       راه‌حل، مشکل دیگری تولید می‌کند.
   • P.vi.1.n.3.        اثرات جنبی تکنولوژی ممکن است برای برخی مردم قابل‌قبول نباشد و بنابراین منجر به برخورد بین گروه‌ها می‌شود.
   • P.vi.1.o.3.        به‌ندرت موضوعات مربوط به تکنولوژی ساده و دارای یک جنبه هستند. عوامل مربوط حتی اگر در دسترس و مشخص باشند، نمی‌توانند تعیین‌کننده تمام امور باشند.
   • P.vi.1.p.3.        تکنولوژی همیشه نمی‌تواند راه‌حل‌های موفق برای مسائل فراهم کند یا تمام نیازهای انسان را پر کند.
   • P.vi.1.q.4.        تکنولوژی برخی ریسک‌ها را افزایش و برخی را کاهش می‌دهد. برخی از این تکنولوژی‌هایی که طول و کیفیت زندگی بسیاری از مردم را بهبود بخشیده، خطرها و ریسک‌های جدید را به همراه داشته.
   • P.vi.1.r.4.         تکنولوژی به‌طور مستقیم روی جامعه اثر می‌گذارد. زیرا تکنولوژی مشکلات عملی و کاربردی را حل می‌کند و نیازهای انسانی را برآورده می‌سازد. البته ممکن است تکنولوژی مشکل‌ساز نیز باشد.
   • P.vi.1.v.4.         با استفاده از پیامدهای مثبت و منفی استفاده از یک تکنولوژی، با افزایش قدرت تحلیل می‌توان تأثیرات منفی تکنولوژی را کاهش داد یا از بین برد.
2. مدل‌های ریاضی بر ساختار تکنولوژی تأثیر می‌گذارند.
   • P.vi.2.h.2.        در تصمیم‌گیری‌ها صرف وقت برای بررسی فواید و مضرات جایگزین‌ها مفید است.
   • P.vi.2.l.3.         مردم تکنولوژی را کنترل می‌کنند و مسئول تأثیرات آن هستند.
   • P.vi.2.o.3.        به‌ندرت موضوعات مربوط به تکنولوژی ساده و دارای یک جنبه هستند. عوامل مربوط حتی اگر در دسترس و مشخص باشند، نمی‌توانند تعیین‌کننده تمام امور باشند.
3. ساختن ابزار‌های تکنولوژی و توسعه ایده‌های ریاضی بر هم تأثیر متقابل دارند.
   • P.vi.3.a.1.        مردم به‌تنهایی یا در گروه همواره راه‌های جدیدی را برای حل مسائل یا انجام کار ابداع می‌کنند. ابزار و روش‌های انجام کار را که مردم ابداع کرده‌اند، روی تمام جنبه‌های زندگی اثر می‌گذارد.
   • P.vi.3.e.2.        هر اختراعی به اختراع دیگر منجر می‌شود. همین که یک اختراع صورت گرفت، مردم به راه‌های استفاده از آن فکر می‌کنند. راه‌هایی که در ابتدا حتی تصور آن را هم نمی‌کردند.
   • P.vi.3.g.2.        در تغییر وسیع کشاورزی، صنعت، بهداشت، پزشکی، تجزیه و تحلیل اطلاعات و ارتباطات که به‌طور وسیعی روی زندگی مردم اثر دارند و آن را تغییر می‌دهند، تکنولوژی بسیار مؤثر بوده‌است.
   • P.vi.3.l.3.         مردم تکنولوژی را کنترل می‌کنند و مسئول تأثیرات آن هستند.
   • P.vi.3.r.4.         تکنولوژی به‌طور مستقیم روی جامعه اثر می‌گذارد. زیرا تکنولوژی مشکلات عملی و کاربردی را حل می‌کند و نیازهای انسانی را برآورده می‌سازد. البته ممکن است تکنولوژی مشکل‌ساز نیز باشد.
   • P.vi.3.s.4.         پیشرفت در علوم و اختراعات در یک جامعه، بستگی وسیعی به دیگر جوامع دارد، و توسعه علمی و تکنولوژیکی بر تحولات فرهنگ و تمدن بشری تأثیر دارد و برعکس.
   • P.vi.3.u.4.        با استفاده از تکنولوژی می‌توان رشد، کاربرد و آموزش ریاضیات را آسان نمود.
4. تکنولوژی بدون انسان پیشرفت نمی‌کند.
   • P.vi.4.a.1.        مردم به‌تنهایی یا در گروه همواره راه‌های جدیدی را برای حل مسائل یا انجام کار ابداع می‌کنند. ابزار و روش‌های انجام کار را که مردم ابداع کرده‌اند، روی تمام جنبه‌های زندگی اثر می‌گذارد.
   • P.vi.4.b.1.        زمانی که گروهی از مردم می‌خواهند چیزی را بسازند یا چیز جدیدی را امتحان کنند، باید از پیش تعیین کنند که این چیز چه تأثیری ممکن است بر مردم بگذارد.
   • P.vi.4.d.2.        تکنولوژی جزء تفکیک‌ناپذیر فرهنگ انسان‌هاست که هم اجتماع را شکل می‌دهد و هم از اجتماع شکل می‌پذیرد. تکنولوژی در اختیار مردم به‌طور وسیع روی زندگی اثر می‌گذارد.
   • P.vi.4.e.2.        هر اختراعی به اختراع دیگر منجر می‌شود. همین که یک اختراع صورت گرفت، مردم به راه‌های استفاده از آن فکر می‌کنند. راه‌هایی که در ابتدا حتی تصور آن را هم نمی‌کردند.
   • P.vi.4.g.2.        در تغییر وسیع کشاورزی، صنعت، بهداشت، پزشکی، تجزیه و تحلیل اطلاعات و ارتباطات که به‌طور وسیعی روی زندگی مردم اثر دارند و آن را تغییر می‌دهند، تکنولوژی بسیار مؤثر بوده‌است.
   • P.vi.4.k.3.         تمام تکنولوژی‌ها اثراتی به‌جز آن‌هایی که در طراحی آن‌ها پیش‌بینی شده، دارند که برخی را ممکن است بتوان پیش‌بینی کرد و برخی را خیر.
   • P.vi.4.l.3.         مردم تکنولوژی را کنترل می‌کنند و مسئول تأثیرات آن هستند.
   • P.vi.4.n.3.        اثرات جنبی تکنولوژی ممکن است برای برخی مردم قابل‌قبول نباشد و بنابراین منجر به برخورد بین گروه‌ها می‌شود.
   • P.vi.4.r.4.         تکنولوژی به‌طور مستقیم روی جامعه اثر می‌گذارد. زیرا تکنولوژی مشکلات عملی و کاربردی را حل می‌کند و نیازهای انسانی را برآورده می‌سازد. البته ممکن است تکنولوژی مشکل‌ساز نیز باشد.
   • P.vi.4.s.4.         پیشرفت در علوم و اختراعات در یک جامعه، بستگی وسیعی به دیگر جوامع دارد، و توسعه علمی و تکنولوژیکی بر تحولات فرهنگ و تمدن بشری تأثیر دارد و برعکس.
   • P.vi.4.t.4.         ارزش هر تکنولوژی در دسترس ممکن است برای گروه‌های مختلف مردم و در زمان‌های مختلف، تفاوت داشته‌باشد.
   • P.vi.4.v.4.         با استفاده از پیامدهای مثبت و منفی استفاده از یک تکنولوژی، با افزایش قدرت تحلیل می‌توان تأثیرات منفی تکنولوژی را کاهش داد یا از بین برد.
5. استفاده از تکنولوژی در آموزش بر تفکر آموزشی و چگونگی یادگیری آن مؤثر است.
   • P.vi.5.a.1.        مردم به‌تنهایی یا در گروه همواره راه‌های جدیدی را برای حل مسائل یا انجام کار ابداع می‌کنند. ابزار و روش‌های انجام کار را که مردم ابداع کرده‌اند، روی تمام جنبه‌های زندگی اثر می‌گذارد.
   • P.vi.5.d.2.        تکنولوژی جزء تفکیک‌ناپذیر فرهنگ انسان‌هاست که هم اجتماع را شکل می‌دهد و هم از اجتماع شکل می‌پذیرد. تکنولوژی در اختیار مردم به‌طور وسیع روی زندگی اثر می‌گذارد.
   • P.vi.5.g.2.        در تغییر وسیع کشاورزی، صنعت، بهداشت، پزشکی، تجزیه و تحلیل اطلاعات و ارتباطات که به‌طور وسیعی روی زندگی مردم اثر دارند و آن را تغییر می‌دهند، تکنولوژی بسیار مؤثر بوده‌است.
   • P.vi.5.r.4.         تکنولوژی به‌طور مستقیم روی جامعه اثر می‌گذارد. زیرا تکنولوژی مشکلات عملی و کاربردی را حل می‌کند و نیازهای انسانی را برآورده می‌سازد. البته ممکن است تکنولوژی مشکل‌ساز نیز باشد.
   • P.vi.5.u.4.        با استفاده از تکنولوژی می‌توان رشد، کاربرد و آموزش ریاضیات را آسان نمود.

1. ریاضیات پدیده‌های طبیعی و اجتماعی را به‌عنوان یک سیستم بررسی می‌کند.
   • P.vii.1.a.1.       شناخت ارتباط بین پدیده‌های مختلف، مقدمه‌ای برای درک مفهوم مجرد سیستم است.
   • P.vii.1.c.1.        تشخیص سیستم‌ها در زندگی روزمره به توانایی حل مسئله کمک می‌کند.
   • P.vii.1.e.2.       ریاضیات پدیده‌های طبیعی و اجتماعی را به‌عنوان یک سیستم بررسی می‌کند.
   • P.vii.1.h.3.       در زندگی روزمره برای انجام وظایف خاصی می‌توان یک سیستم طراحی کرد.
   • P.vii.1.i.3.        از مدل‌سازی ریاضی در شناخت سیستم‌ها و پیش‌بینی رفتار آن‌ها استفاده می‌کنیم.
   • P.vii.1.m.4.      طراحی سیستم مبتنی بر پردازش داده‌هاست و در تحلیل آن از ریاضیات کمک گرفته می‌شود. سیستم طراحی‌شده باید بتواند با داده‌های واقعی مطابقت داشته‌باشد.
   • P.vii.1.o.4.       با توجه به شرایط واقعی مسئله از برخی محدودیت‌ها مانند محدودیت‌های محیطی در طراحی سیستم‌ها نمی‌توان دوری جست.
   • P.vii.1.p.4.       سیستم‌های طراحی‌شده توسط انسان از سیستم‌هایی که در طبیعت یافت می‌شوند بسیار ساده‌تر هستند. شناخت‌شناسی انسان به درک بهتر سیستم‌ها کمک می‌کند.
2. معمولاً با تقسیم یک سیستم به چند سیستم کوچک‌تر و بررسی ارتباط آن‌ها می‌توان آسان‌تر آن سیستم را بررسی کرد.
   • P.vii.2.a.1.       شناخت ارتباط بین پدیده‌های مختلف، مقدمه‌ای برای درک مفهوم مجرد سیستم است.
   • P.vii.2.f.2.        گاهی می‌توان یک سیستم را با سیستمی ساده‌تر جایگزین کرد که همان وظایف را به انجام برساند.
   • P.vii.2.h.3.       در زندگی روزمره برای انجام وظایف خاصی می‌توان یک سیستم طراحی کرد.
   • P.vii.2.j.3.        می‌توان از سیستم‌های قدیمی در ساخت سیستم‌های جدید کمک گرفت.
   • P.vii.2.k.3.        طراحی چند سیستم برای انجام وظایف و مقایسه توانایی‌ها و ضعف‌های آن‌ها به راندمان بالاتر کمک می‌کند.
   • P.vii.2.l.3.        با تغییر هدف‌دار سیستم می‌توان یک سیستم در حال کار را برای راندمان بهتر مدیریت کرد.
   • P.vii.2.q.4.       سیستم‌های طراحی‌شده وقتی ممکن است با شکست مواجه شوند که دارای اجزائی باشند که سالم نیستند یا با هم ارتباط ضعیف دارند و یا از آن‌ها به‌گونه‌ای استفاده می‌شود که در طراحی موردنظر نبوده‌است و یا از ابتدا ضعیف طراحی شده‌اند.
   • P.vii.2.r.4.        در طراحی یک سیستم، هرچه یک سیستم اجزاء و ارتباطات بیش‌تری داشته‌باشد، مشکلات بیش‌تری ممکن است پیش بیاید. سیستم‌ها به اجزائی برای تشخیص پشتیبانی، رد کردن یا جبران کردن شکست‌های جزئی نیازمندند.
   • P.vii.2.s.4.        برای کاهش احتمال شکست یک سیستم طراحی‌شده معمولاً آزمایش چگونگی عملکرد با مدل‌هایی در مقیاس‌های کوچک، بازسازی کامپیوتری و سیستم‌های مشابه انجام می‌شود. گاهی فقط روی قسمت‌هایی از سیستم که غیرقابل‌اطمینان هستند و آزمایش نشده‌اند آزمایش می‌کنیم.
3. یک سیستم را می‌توان با یک سیستم ساده‌تر شبیه‌سازی کرد و آن را به‌طور تقریبی بررسی کرد.
   • P.vii.3.b.1.       با بررسی و مقایسه ورودی و خروجی سیستم‌ها می‌توان نحوه کار آن را حدس زد.
   • P.vii.3.g.2.       یک سیستم را می‌توان با یک سیستم ساده‌تر جایگزین کرد و آن را به‌طور تقریبی بررسی کرد.
   • P.vii.3.j.3.        می‌توان از سیستم‌های قدیمی در ساخت سیستم‌های جدید کمک گرفت.
   • P.vii.3.n.4.       درنظر گرفتن قیود لازمه طراحی است.
   • P.vii.3.o.4.       با توجه به شرایط واقعی مسئله از برخی محدودیت‌ها مانند محدودیت‌های محیطی در طراحی سیستم‌ها نمی‌توان دوری جست.
   • P.vii.3.p.4.       سیستم‌های طراحی‌شده توسط انسان از سیستم‌هایی که در طبیعت یافت می‌شوند بسیار ساده‌تر هستند. شناخت‌شناسی انسان به درک بهتر سیستم‌ها کمک می‌کند.
   • P.vii.3.r.4.        در طراحی یک سیستم، هرچه یک سیستم اجزاء و ارتباطات بیش‌تری داشته‌باشد، مشکلات بیش‌تری ممکن است پیش بیاید. سیستم‌ها به اجزائی برای تشخیص پشتیبانی، رد کردن یا جبران کردن شکست‌های جزئی نیازمندند.
   • P.vii.3.u.4.       در طراحی یک وسیله یا فرآیند باید روی چگونگی تولید، عملکرد، توزیع، جایگزینی و از دور خارج نمودن آن و کسانی که با آن کار می‌کنند و مراقبت آن فکر کرد. هزینه این امور ممکن است محدودیت‌هایی را در طراحی فراهم نماید.
4. با اثرگذاری روی سیستم و بررسی عکس‌العمل آن می‌توان سیستم را بهتر شناخت.
   • P.vii.4.b.1.       با بررسی و مقایسه ورودی و خروجی سیستم‌ها می‌توان نحوه کار آن را حدس زد.
   • P.vii.4.d.2.       برای مطالعه یک سیستم می‌توان با اثرگذاری هدف‌دار و بررسی عکس‌العمل آن، سیستم را بررسی کرد.
   • P.vii.4.i.3.        از مدل‌سازی ریاضی در شناخت سیستم‌ها و پیش‌بینی رفتار آن‌ها استفاده می‌کنیم.
   • P.vii.4.l.3.        با تغییر هدف‌دار سیستم می‌توان یک سیستم در حال کار را برای راندمان بهتر مدیریت کرد.
   • P.vii.4.m.4.      طراحی سیستم مبتنی بر پردازش داده‌هاست و در تحلیل آن از ریاضیات کمک گرفته می‌شود. سیستم طراحی‌شده باید بتواند با داده‌های واقعی مطابقت داشته‌باشد.
   • P.vii.4.q.4.       سیستم‌های طراحی‌شده وقتی ممکن است با شکست مواجه شوند که دارای اجزائی باشند که سالم نیستند یا با هم ارتباط ضعیف دارند و یا از آن‌ها به‌گونه‌ای استفاده می‌شود که در طراحی موردنظر نبوده‌است و یا از ابتدا ضعیف طراحی شده‌اند.
   • P.vii.4.s.4.        برای کاهش احتمال شکست یک سیستم طراحی‌شده معمولاً آزمایش چگونگی عملکرد با مدل‌هایی در مقیاس‌های کوچک، بازسازی کامپیوتری و سیستم‌های مشابه انجام می‌شود. گاهی فقط روی قسمت‌هایی از سیستم که غیرقابل‌اطمینان هستند و آزمایش نشده‌اند آزمایش می‌کنیم.
   • P.vii.4.t.4.        عملکرد یک سیستم طراحی‌شده، اغلب شامل بازخورد استفاده‌کنندگان هم می‌شود.
5. گاهی یک سیستم را می‎‌توان تحلیل کرد، به گونه‌ای که همان وظایف را ساده‌تر انجام دهد.
   • P.vii.5.f.2.        گاهی می‌توان یک سیستم را با سیستمی ساده‌تر جایگزین کرد که همان وظایف را به انجام برساند.
   • P.vii.5.g.2.       یک سیستم را می‌توان با یک سیستم ساده‌تر جایگزین کرد و آن را به‌طور تقریبی بررسی کرد.
   • P.vii.5.h.3.       در زندگی روزمره برای انجام وظایف خاصی می‌توان یک سیستم طراحی کرد.
   • P.vii.5.j.3.        می‌توان از سیستم‌های قدیمی در ساخت سیستم‌های جدید کمک گرفت.
   • P.vii.5.k.3.        طراحی چند سیستم برای انجام وظایف و مقایسه توانایی‌ها و ضعف‌های آن‌ها به راندمان بالاتر کمک می‌کند.
   • P.vii.5.n.4.       درنظر گرفتن قیود لازمه طراحی است.
   • P.vii.5.o.4.       با توجه به شرایط واقعی مسئله از برخی محدودیت‌ها مانند محدودیت‌های محیطی در طراحی سیستم‌ها نمی‌توان دوری جست.
   • P.vii.5.q.4.       سیستم‌های طراحی‌شده وقتی ممکن است با شکست مواجه شوند که دارای اجزائی باشند که سالم نیستند یا با هم ارتباط ضعیف دارند و یا از آن‌ها به‌گونه‌ای استفاده می‌شود که در طراحی موردنظر نبوده‌است و یا از ابتدا ضعیف طراحی شده‌اند.
   • P.vii.5.r.4.        در طراحی یک سیستم، هرچه یک سیستم اجزاء و ارتباطات بیش‌تری داشته‌باشد، مشکلات بیش‌تری ممکن است پیش بیاید. سیستم‌ها به اجزائی برای تشخیص پشتیبانی، رد کردن یا جبران کردن شکست‌های جزئی نیازمندند.
   • P.vii.5.t.4.        عملکرد یک سیستم طراحی‌شده، اغلب شامل بازخورد استفاده‌کنندگان هم می‌شود.
   • P.vii.5.u.4.       در طراحی یک وسیله یا فرآیند باید روی چگونگی تولید، عملکرد، توزیع، جایگزینی و از دور خارج نمودن آن و کسانی که با آن کار می‌کنند و مراقبت آن فکر کرد. هزینه این امور ممکن است محدودیت‌هایی را در طراحی فراهم نماید.
6. از مدل‌سازی ریاضی در شناخت سیستم‌ها استفاده می‌کنیم.
   • P.vii.6.a.1.       شناخت ارتباط بین پدیده‌های مختلف، مقدمه‌ای برای درک مفهوم مجرد سیستم است.
   • P.vii.6.b.1.       با بررسی و مقایسه ورودی و خروجی سیستم‌ها می‌توان نحوه کار آن را حدس زد.
   • P.vii.6.e.2.       ریاضیات پدیده‌های طبیعی و اجتماعی را به‌عنوان یک سیستم بررسی می‌کند.
   • P.vii.6.f.2.        گاهی می‌توان یک سیستم را با سیستمی ساده‌تر جایگزین کرد که همان وظایف را به انجام برساند.
   • P.vii.6.g.2.       یک سیستم را می‌توان با یک سیستم ساده‌تر جایگزین کرد و آن را به‌طور تقریبی بررسی کرد.
   • P.vii.6.i.3.        از مدل‌سازی ریاضی در شناخت سیستم‌ها و پیش‌بینی رفتار آن‌ها استفاده می‌کنیم.
   • P.vii.6.m.4.      طراحی سیستم مبتنی بر پردازش داده‌هاست و در تحلیل آن از ریاضیات کمک گرفته می‌شود. سیستم طراحی‌شده باید بتواند با داده‌های واقعی مطابقت داشته‌باشد.
   • P.vii.6.n.4.       درنظر گرفتن قیود لازمه طراحی است.
   • P.vii.6.p.4.       سیستم‌های طراحی‌شده توسط انسان از سیستم‌هایی که در طبیعت یافت می‌شوند بسیار ساده‌تر هستند. شناخت‌شناسی انسان به درک بهتر سیستم‌ها کمک می‌کند.
   • P.vii.6.r.4.        در طراحی یک سیستم، هرچه یک سیستم اجزاء و ارتباطات بیش‌تری داشته‌باشد، مشکلات بیش‌تری ممکن است پیش بیاید. سیستم‌ها به اجزائی برای تشخیص پشتیبانی، رد کردن یا جبران کردن شکست‌های جزئی نیازمندند.
   • P.vii.6.s.4.        برای کاهش احتمال شکست یک سیستم طراحی‌شده معمولاً آزمایش چگونگی عملکرد با مدل‌هایی در مقیاس‌های کوچک، بازسازی کامپیوتری و سیستم‌های مشابه انجام می‌شود. گاهی فقط روی قسمت‌هایی از سیستم که غیرقابل‌اطمینان هستند و آزمایش نشده‌اند آزمایش می‌کنیم.
   • P.vii.6.u.4.       در طراحی یک وسیله یا فرآیند باید روی چگونگی تولید، عملکرد، توزیع، جایگزینی و از دور خارج نمودن آن و کسانی که با آن کار می‌کنند و مراقبت آن فکر کرد. هزینه این امور ممکن است محدودیت‌هایی را در طراحی فراهم نماید.

1. مدل‌هایی که برای حل یک مسئله ساخته می‌شود برای مسائل مشابه قابل کاربرد است.
   • P.viii.1.a.1.      اعداد می‌توانند برای شمارش اشیاء، مرتب کردن آن‌ها یا نام‌گذاری آن‌ها به‌کار روند.
   • P.viii.1.b.1.      یک راه برای توضیح یک پدیده این است که بگوییم چطور شبیه چیز دیگری است.
   • P.viii.1.d.1.      یک راه مهم برای شناخت پدیده‌ها طبقه‌بندی آن‌هاست. برای مثال اشیاء را می‌توان برحسب رنگ، اندازه، شکل مرتب نمود.
   • P.viii.1.e.1.      اعداد و اشکال می‌توانند برای صحبت کردن درباره اشیاء به‌کار روند.
   • P.viii.1.f.2.       اعداد و اشکال و اعمال روی آن‌ها به ما کمک می‌کند که چیزی را توضیح دهیم یا درمورد دنیای اطرافمان پیش‌گویی کنیم.
   • P.viii.1.h.2.      روند کشف ریاضیات همان تشخیص الگوهای مشترک بین پدیده‌ها و استخراج مدل‌های ریاضی از آن‌هاست.
   • P.viii.1.j.2.       کشف الگوهای عددی و هندسی ابزار مهمی برای پیش‌بینی پدیده‌های طبیعی و زندگی روزمره است.
   • P.viii.1.l.3.       طراحی الگوهای هندسی و عددی بستر خلاقیت ریاضی و خلاقیت هنری است. بدین‌وسیله ریاضیات در زیباسازی محیط اطرافمان به ما کمک می‌کند.
   • P.viii.1.o.3.      مدل‌های متفاوتی می‌توانند یک پدیده را نمایش دهند. این‌که چه مدلی چقدر پیچیده باشد، به کاربرد بستگی دارد. انتخاب یک مدل مفید یکی از ملاحظاتی است که شهود و خلاقیت در علم ریاضی و مهندسی به‌کار می‌آیند.
   • P.viii.1.u.4.      ایده اصلی مدل‌سازی این است که ارتباطاتی پیدا شود که مانند اشیاء مورد بررسی رفتار کند. یک مدل ریاضی ممکن است کمک کند بفهمیم چگونه یک چیز کار می‌کند یا ممکن است با خیلی مشاهدات تطابق داشته‌باشد، بدون این‌که هیچ معنایی شهودی به‌دست دهد.
2. مدل‌سازی ریاضی یک روش اساسی برای حل کردن مسائل زندگی روزمره است.
   • P.viii.2.a.1.      اعداد می‌توانند برای شمارش اشیاء، مرتب کردن آن‌ها یا نام‌گذاری آن‌ها به‌کار روند.
   • P.viii.2.b.1.      یک راه برای توضیح یک پدیده این است که بگوییم چطور شبیه چیز دیگری است.
   • P.viii.2.c.1.       یک مدل برای یک پدیده از آن پدیده واقعی متفاوت است. اما می‌توان از آن استفاده کرد تا درباره پدیده‌های واقعی چیزهایی یاد گرفت.
   • P.viii.2.e.1.      اعداد و اشکال می‌توانند برای صحبت کردن درباره اشیاء به‌کار روند.
   • P.viii.2.f.2.       اعداد و اشکال و اعمال روی آن‌ها به ما کمک می‌کند که چیزی را توضیح دهیم یا درمورد دنیای اطرافمان پیش‌گویی کنیم.
   • P.viii.2.g.2.      جمع‌آوری و منظم کردن داده‌های زندگی روزمره در جدول به تصمیم‌گیری روزمره کمک می‌کند.
   • P.viii.2.i.2.       نمودارها می‌توانند چندین نوع ارتباط بین یک متغیر و زمان را به نمایش بگذارند. این‌که با گذشت زمان متغیر افزایش و کاهش سریع و یا کند داشته‌باشد، به مقدار حدی نزدیک شود و یا رفتار پله‌ای داشته‌باشد.
   • P.viii.2.j.2.       کشف الگوهای عددی و هندسی ابزار مهمی برای پیش‌بینی پدیده‌های طبیعی و زندگی روزمره است.
   • P.viii.2.k.2.       اشکال هندسی، اعداد، دنباله‌ها، ‌گراف‌ها، نمودارها، محورهای اعداد، نقشه‌ها و داستان‌ها می‌توانند برای نمایش موجودات، اتفاقات، تغییرات در دنیای واقعی به‌کار برده‌شوند. البته این نمایش‌ها هرگز نمی‌توانند در همه ابعاد دقیق باشند.
   • P.viii.2.m.3.     قوانین احتمال به ما اجازه می‌دهند در مواردی که اطلاعات قطعی نداریم، پیش‌گویی کنیم.
   • P.viii.2.q.4.      برای استفاده و تحلیل ریاضی مهم است بیش‌تر از این‌که به‌درستی محاسبه توجه داشته‌باشیم، به این توجه داشته‌باشیم که تا چه اندازه این محاسبات بیان‌گر موضوعات مورد بررسی هستند.
   • P.viii.2.s.4.       استفاده از ریاضی برای حل یک مسئله خاص شامل فرضیات ساده‌کننده، تقریب‌ها، محاسبات و آن‌گاه تصمیم‌گیری درباره این‌که آیا جواب منطقی به‌نظر می‌رسد یا نه، می‌باشد.
   • P.viii.2.t.4.       بیش‌تر کار ریاضی‌دانان یک‌جور مدل‌سازی است که شامل سه مرحله است: ۱) استفاده از مجردسازی برای نمایش اشیاء و ایده‌ها ۲) کار با مجردات برحسب قواعد منطقی ۳) بررسی این‌که چقدر نتایج به‌دست آمده با ایده‌ها سازگارند. البته تفکر واقعی لزوماً از این ترتیب پیروی نمی‌کند.
3. در مدل‌سازی ممکن است بعضی از محدودیت‌ها باعث شود بعضی ویژگی‌ها در حل مسئله نادیده گرفته‌ شود.
   • P.viii.3.c.1.       یک مدل برای یک پدیده از آن پدیده واقعی متفاوت است. اما می‌توان از آن استفاده کرد تا درباره پدیده‌های واقعی چیزهایی یاد گرفت.
   • P.viii.3.d.1.      یک راه مهم برای شناخت پدیده‌ها طبقه‌بندی آن‌هاست. برای مثال اشیاء را می‌توان برحسب رنگ، اندازه، شکل مرتب نمود.
   • P.viii.3.h.2.      روند کشف ریاضیات همان تشخیص الگوهای مشترک بین پدیده‌ها و استخراج مدل‌های ریاضی از آن‌هاست.
   • P.viii.3.i.2.       نمودارها می‌توانند چندین نوع ارتباط بین یک متغیر و زمان را به نمایش بگذارند. این‌که با گذشت زمان متغیر افزایش و کاهش سریع و یا کند داشته‌باشد، به مقدار حدی نزدیک شود و یا رفتار پله‌ای داشته‌باشد.
   • P.viii.3.k.2.       اشکال هندسی، اعداد، دنباله‌ها، ‌گراف‌ها، نمودارها، محورهای اعداد، نقشه‌ها و داستان‌ها می‌توانند برای نمایش موجودات، اتفاقات، تغییرات در دنیای واقعی به‌کار برده‌شوند. البته این نمایش‌ها هرگز نمی‌توانند در همه ابعاد دقیق باشند.
   • P.viii.3.m.3.     قوانین احتمال به ما اجازه می‌دهند در مواردی که اطلاعات قطعی نداریم، پیش‌گویی کنیم.
   • P.viii.3.n.3.      وقتی ریاضی از قواعد منطقی استفاده می‌کند تا با نمایش‌های مختلف چیزی کار کند، نتیجه ممکن است کاملاً برای کاربرد در آن مورد مناسب نباشد.
   • P.viii.3.o.3.      مدل‌های متفاوتی می‌توانند یک پدیده را نمایش دهند. این‌که چه مدلی چقدر پیچیده باشد، به کاربرد بستگی دارد. انتخاب یک مدل مفید یکی از ملاحظاتی است که شهود و خلاقیت در علم ریاضی و مهندسی به‌کار می‌آیند.
   • P.viii.3.p.3.      هر مدل ریاضی نموداری یا جبری، محدود است به این‌که چقدر خوب جهان واقعی را توصیف می‌کند. کارآمدی یک مدل ریاضی برای یک پیش‌بینی ممکن است توسط عدم قطعیت در اندازه‌گیری‌ها، عدم توجه به تأثیرات تأمین‌کننده یا محاسبات بسیار زیاد محدود شود.
   • P.viii.3.q.4.      برای استفاده و تحلیل ریاضی مهم است بیش‌تر از این‌که به‌درستی محاسبه توجه داشته‌باشیم، به این توجه داشته‌باشیم که تا چه اندازه این محاسبات بیان‌گر موضوعات مورد بررسی هستند.
   • P.viii.3.r.4.       معمولاً به‌سادگی می‌توان برای یک پدیده روی بستر کوچکی از شرایط مثل دما یا زمان مدل ریاضی پیدا کرد. ولی ممکن است برای بستری بزرگ‌تر، آن مدل جواب ندهد.
   • P.viii.3.s.4.       استفاده از ریاضی برای حل یک مسئله خاص شامل فرضیات ساده‌کننده، تقریب‌ها، محاسبات و آن‌گاه تصمیم‌گیری درباره این‌که آیا جواب منطقی به‌نظر می‌رسد یا نه، می‌باشد.
   • P.viii.3.t.4.       بیش‌تر کار ریاضی‌دانان یک‌جور مدل‌سازی است که شامل سه مرحله است: ۱) استفاده از مجردسازی برای نمایش اشیاء و ایده‌ها ۲) کار با مجردات برحسب قواعد منطقی ۳) بررسی این‌که چقدر نتایج به‌دست آمده با ایده‌ها سازگارند. البته تفکر واقعی لزوماً از این ترتیب پیروی نمی‌کند.
   • P.viii.3.v.4.       با مدل‌سازی می‌توان به حقیقت نزدیک شد، اما نمی‌توان به حقیقت رسید.
4. مدل‌های ریاضی ساخته‌شده می‌توانند باعث پیدایش ایده‌های جدید یا توسعه و تعمیم ایده‌های قبل شوند.
   • P.viii.4.a.1.      اعداد می‌توانند برای شمارش اشیاء، مرتب کردن آن‌ها یا نام‌گذاری آن‌ها به‌کار روند.
   • P.viii.4.h.2.      روند کشف ریاضیات همان تشخیص الگوهای مشترک بین پدیده‌ها و استخراج مدل‌های ریاضی از آن‌هاست.
   • P.viii.4.l.3.       طراحی الگوهای هندسی و عددی بستر خلاقیت ریاضی و خلاقیت هنری است. بدین‌وسیله ریاضیات در زیباسازی محیط اطرافمان به ما کمک می‌کند.
   • P.viii.4.n.3.      وقتی ریاضی از قواعد منطقی استفاده می‌کند تا با نمایش‌های مختلف چیزی کار کند، نتیجه ممکن است کاملاً برای کاربرد در آن مورد مناسب نباشد.
   • P.viii.4.o.3.      مدل‌های متفاوتی می‌توانند یک پدیده را نمایش دهند. این‌که چه مدلی چقدر پیچیده باشد، به کاربرد بستگی دارد. انتخاب یک مدل مفید یکی از ملاحظاتی است که شهود و خلاقیت در علم ریاضی و مهندسی به‌کار می‌آیند.
   • P.viii.4.q.4.      برای استفاده و تحلیل ریاضی مهم است بیش‌تر از این‌که به‌درستی محاسبه توجه داشته‌باشیم، به این توجه داشته‌باشیم که تا چه اندازه این محاسبات بیان‌گر موضوعات مورد بررسی هستند.
   • P.viii.4.t.4.       بیش‌تر کار ریاضی‌دانان یک‌جور مدل‌سازی است که شامل سه مرحله است: ۱) استفاده از مجردسازی برای نمایش اشیاء و ایده‌ها ۲) کار با مجردات برحسب قواعد منطقی ۳) بررسی این‌که چقدر نتایج به‌دست آمده با ایده‌ها سازگارند. البته تفکر واقعی لزوماً از این ترتیب پیروی نمی‌کند.
   • P.viii.4.u.4.      ایده اصلی مدل‌سازی این است که ارتباطاتی پیدا شود که مانند اشیاء مورد بررسی رفتار کند. یک مدل ریاضی ممکن است کمک کند بفهمیم چگونه یک چیز کار می‌کند یا ممکن است با خیلی مشاهدات تطابق داشته‌باشد، بدون این‌که هیچ معنایی شهودی به‌دست دهد.
   • P.viii.4.v.4.       با مدل‌سازی می‌توان به حقیقت نزدیک شد، اما نمی‌توان به حقیقت رسید.
5. در مدل‌سازی یک پدیده طبیعی از ساده‌ترین مدل‌ها که بتواند پدیده‌ها را توصیف کند، استفاده می‌کنیم.
   • P.viii.5.b.1.      یک راه برای توضیح یک پدیده این است که بگوییم چطور شبیه چیز دیگری است.
   • P.viii.5.c.1.       یک مدل برای یک پدیده از آن پدیده واقعی متفاوت است. اما می‌توان از آن استفاده کرد تا درباره پدیده‌های واقعی چیزهایی یاد گرفت.
   • P.viii.5.e.1.      اعداد و اشکال می‌توانند برای صحبت کردن درباره اشیاء به‌کار روند.
   • P.viii.5.g.2.      جمع‌آوری و منظم کردن داده‌های زندگی روزمره در جدول به تصمیم‌گیری روزمره کمک می‌کند.
   • P.viii.5.k.2.       اشکال هندسی، اعداد، دنباله‌ها، ‌گراف‌ها، نمودارها، محورهای اعداد، نقشه‌ها و داستان‌ها می‌توانند برای نمایش موجودات، اتفاقات، تغییرات در دنیای واقعی به‌کار برده‌شوند. البته این نمایش‌ها هرگز نمی‌توانند در همه ابعاد دقیق باشند.
   • P.viii.5.n.3.      وقتی ریاضی از قواعد منطقی استفاده می‌کند تا با نمایش‌های مختلف چیزی کار کند، نتیجه ممکن است کاملاً برای کاربرد در آن مورد مناسب نباشد.
   • P.viii.5.o.3.      مدل‌های متفاوتی می‌توانند یک پدیده را نمایش دهند. این‌که چه مدلی چقدر پیچیده باشد، به کاربرد بستگی دارد. انتخاب یک مدل مفید یکی از ملاحظاتی است که شهود و خلاقیت در علم ریاضی و مهندسی به‌کار می‌آیند.
   • P.viii.5.p.3.      هر مدل ریاضی نموداری یا جبری، محدود است به این‌که چقدر خوب جهان واقعی را توصیف می‌کند. کارآمدی یک مدل ریاضی برای یک پیش‌بینی ممکن است توسط عدم قطعیت در اندازه‌گیری‌ها، عدم توجه به تأثیرات تأمین‌کننده یا محاسبات بسیار زیاد محدود شود.
   • P.viii.5.r.4.       معمولاً به‌سادگی می‌توان برای یک پدیده روی بستر کوچکی از شرایط مثل دما یا زمان مدل ریاضی پیدا کرد. ولی ممکن است برای بستری بزرگ‌تر، آن مدل جواب ندهد.

1. در هنگام حل مسئله بحث جمعی به سهولت و صحت حل کمک می‌کند.
   • P.ix.1.b.1.        مشورت پایه تصمیم‌گیری است. در هنگام حل مسئله مشورت به سهولت و صحت حل کمک می‌کند.
   • P.ix.1.c.1.         حل مسئله توسط دو نفر مقدمه‌ای است برای تفکر دسته‌جمعی.
   • P.ix.1.e.2.        بازی‌هایی که در آن اعضای گروه نیاز به همکاری دارند، توانایی ارتباط دانش‌آموزان با اعضای گروه را تقویت می‌کنند.
   • P.ix.1.j.3.         تجربه حالت‌های خاص از مسئله یا تجربه آن در کاربرد توسط گروه‌های دونفری، فرهنگ کار گروهی را به‌وجود می‌آورد.
   • P.ix.1.k.3.         حل مسئله به‌روش شورایی در گروه‌های چندنفری به مهارت‌های ارتباط اجتماعی کمک می‌کند.
   • P.ix.1.l.3.         حل مسئله به‌روش کار گروهی ساختارمند در گروه‌های چندنفری، شخصیت افراد در گروه را شکل می‌دهد.
   • P.ix.1.m.3.       حل مسئله فعالیت‌هایی را شامل می‌شود که همه آن‌ها می‌توانند گروهی هم انجام شوند و این باعث افزایش توانایی‌های فرد می‌شود نه کاهش آن.
   • P.ix.1.n.4.        مشورت در تصمیم‌گیری‌های زندگی روزمره به ما کمک می‌کند ابعاد بیش‌تری از مسئله را مدنظر قرار دهیم.
   • P.ix.1.o.4.        بسیاری از فعالیت‌های ریاضی به‌روش گروهی ساده‌تر قابل‌انجام هستند. ولی بعضی از آن‌ها هم این‌طور نیستند، چون مدیریت کار گروهی در این فعالیت‌ها بسیار مشکل است.
   • P.ix.1.p.4.        اگر چندین روش برای مدل‌سازی یک مسئله داشته‌باشیم، برای انتخاب راه‌حل آزادی عمل بیش‌تری داریم.
   • P.ix.1.q.4.        همکاری و مشارکت باعث برهم‌نهی توانایی ریاضی افراد می‌شود.
2. مقابله نظرات مختلف توسط جمع در موضوعات درسی و پرسش و پاسخ به درک بهتر و یادگیری مؤثرتر کمک می‌کند.
   • P.ix.2.a.1.        بازی‌هایی که توانایی بیش‌تر کار گروه را به نمایش می‌گذارد، دانش‌آموزان را به کار گروهی علاقه‌مند می‌کند.
   • P.ix.2.c.1.         حل مسئله توسط دو نفر مقدمه‌ای است برای تفکر دسته‌جمعی.
   • P.ix.2.d.1.        تشویق تمایل به کار گروهی با ایجاد رقابت امکان‌پذیر است.
   • P.ix.2.f.2.         حل مسئله توسط سه نفر آغاز، ایجاد و طراحی سیستم در داخل گروه است. به‌طوری که گروه به‌سمت هدف هدایت شود.
   • P.ix.2.g.2.        حل مسئله در دو گروه دونفره و مقایسه راه‌حل‌های دو گروه و آگاهی از استراتژی‌ها و تصمیم‌گیری‌های هنگام حل مسئله توسط گروه دیگر، مهارت‌های تفکر گروهی را نهادینه می‌کند.
   • P.ix.2.h.2.        مباحثه دونفره و آزمودن یکدیگر باعث درک عمیق‌تر مباحث است.
   • P.ix.2.i.2.         مباحثه دو گروه دونفره و آزمودن یکدیگر باعث درک عمیق‌تر مباحث است.
   • P.ix.2.j.3.         تجربه حالت‌های خاص از مسئله یا تجربه آن در کاربرد توسط گروه‌های دونفری، فرهنگ کار گروهی را به‌وجود می‌آورد.
   • P.ix.2.k.3.         حل مسئله به‌روش شورایی در گروه‌های چندنفری به مهارت‌های ارتباط اجتماعی کمک می‌کند.
   • P.ix.2.n.4.        مشورت در تصمیم‌گیری‌های زندگی روزمره به ما کمک می‌کند ابعاد بیش‌تری از مسئله را مدنظر قرار دهیم.
   • P.ix.2.o.4.        بسیاری از فعالیت‌های ریاضی به‌روش گروهی ساده‌تر قابل‌انجام هستند. ولی بعضی از آن‌ها هم این‌طور نیستند، چون مدیریت کار گروهی در این فعالیت‌ها بسیار مشکل است.
   • P.ix.2.q.4.        همکاری و مشارکت باعث برهم‌نهی توانایی ریاضی افراد می‌شود.
   • P.ix.2.r.4.         همکاری و مشارکت باعث ارتباط انسانی بیش‌تر و لذا رشد توانایی‌های فردی می‌شود.
3. عضویت در یک گروه مطالعه در یادگیری کمک می‌کند.
   • P.ix.3.h.2.        مباحثه دونفره و آزمودن یکدیگر باعث درک عمیق‌تر مباحث است.
   • P.ix.3.i.2.         مباحثه دو گروه دونفره و آزمودن یکدیگر باعث درک عمیق‌تر مباحث است.
   • P.ix.3.q.4.        همکاری و مشارکت باعث برهم‌نهی توانایی ریاضی افراد می‌شود.
4. کار گروهی می‌تواند باعث افزایش مجموع توانایی‌های فردی اعضاء گروه شود.
   • P.ix.4.a.1.        بازی‌هایی که توانایی بیش‌تر کار گروه را به نمایش می‌گذارد، دانش‌آموزان را به کار گروهی علاقه‌مند می‌کند.
   • P.ix.4.b.1.        مشورت پایه تصمیم‌گیری است. در هنگام حل مسئله مشورت به سهولت و صحت حل کمک می‌کند.
   • P.ix.4.f.2.         حل مسئله توسط سه نفر آغاز، ایجاد و طراحی سیستم در داخل گروه است. به‌طوری که گروه به‌سمت هدف هدایت شود.
   • P.ix.4.m.3.       حل مسئله فعالیت‌هایی را شامل می‌شود که همه آن‌ها می‌توانند گروهی هم انجام شوند و این باعث افزایش توانایی‌های فرد می‌شود نه کاهش آن.
   • P.ix.4.n.4.        مشورت در تصمیم‌گیری‌های زندگی روزمره به ما کمک می‌کند ابعاد بیش‌تری از مسئله را مدنظر قرار دهیم.
   • P.ix.4.p.4.        اگر چندین روش برای مدل‌سازی یک مسئله داشته‌باشیم، برای انتخاب راه‌حل آزادی عمل بیش‌تری داریم.
   • P.ix.4.q.4.        همکاری و مشارکت باعث برهم‌نهی توانایی ریاضی افراد می‌شود.
   • P.ix.4.r.4.         همکاری و مشارکت باعث ارتباط انسانی بیش‌تر و لذا رشد توانایی‌های فردی می‌شود.
5. رعایت اخلاق و آداب بحث گروهی در نتیجه‌گیری بهتر مؤثر است.
   • P.ix.5.d.1.        تشویق تمایل به کار گروهی با ایجاد رقابت امکان‌پذیر است.
   • P.ix.5.e.2.        بازی‌هایی که در آن اعضای گروه نیاز به همکاری دارند، توانایی ارتباط دانش‌آموزان با اعضای گروه را تقویت می‌کنند.
   • P.ix.5.f.2.         حل مسئله توسط سه نفر آغاز، ایجاد و طراحی سیستم در داخل گروه است. به‌طوری که گروه به‌سمت هدف هدایت شود.
   • P.ix.5.g.2.        حل مسئله در دو گروه دونفره و مقایسه راه‌حل‌های دو گروه و آگاهی از استراتژی‌ها و تصمیم‌گیری‌های هنگام حل مسئله توسط گروه دیگر، مهارت‌های تفکر گروهی را نهادینه می‌کند.
   • P.ix.5.i.2.         مباحثه دو گروه دونفره و آزمودن یکدیگر باعث درک عمیق‌تر مباحث است.
   • P.ix.5.j.3.         تجربه حالت‌های خاص از مسئله یا تجربه آن در کاربرد توسط گروه‌های دونفری، فرهنگ کار گروهی را به‌وجود می‌آورد.
   • P.ix.5.k.3.         حل مسئله به‌روش شورایی در گروه‌های چندنفری به مهارت‌های ارتباط اجتماعی کمک می‌کند.
   • P.ix.5.l.3.         حل مسئله به‌روش کار گروهی ساختارمند در گروه‌های چندنفری، شخصیت افراد در گروه را شکل می‌دهد.
   • P.ix.5.o.4.        بسیاری از فعالیت‌های ریاضی به‌روش گروهی ساده‌تر قابل‌انجام هستند. ولی بعضی از آن‌ها هم این‌طور نیستند، چون مدیریت کار گروهی در این فعالیت‌ها بسیار مشکل است.
   • P.ix.5.r.4.         همکاری و مشارکت باعث ارتباط انسانی بیش‌تر و لذا رشد توانایی‌های فردی می‌شود.

1. یک مسئله را می‌توان با ایده‌های متفاوت حل کرد.
   • P.x.1.c.1.          تفکر کلامی استنتاجی با سیستم شنوایی و تأثیرات آن در سیستم ادراک بشر مرتبط است.
   • P.x.1.d.1.         تفکر تصویری با سیستم بینایی و تأثیرات آن در سیستم ادراک بشر مرتبط است.
   • P.x.1.e.2.         یک مسئله را می‌توان با ایده‌های متفاوت حل کرد.
   • P.x.1.g.2.         نگاه موضعی و جزء به کل یکی از استراتژی‌های ادراک بشری است.
   • P.x.1.h.2.         نگاه سرتاسری و کل به جزء یکی از استراتژی‌های ادراک بشری است.
   • P.x.1.j.3.          می‌توان مسائل هندسی را به فرمول‌بندی جبری ترجمه کرد و ادراک سرتاسری را می‌توان بر استدلال استوار نمود.
   • P.x.1.l.3.          ادراک موضعی را که بر استنتاج و استدلال استوار است می‌توان با مدل‌های ریاضی بر شهود استوار نمود.
   • P.x.1.o.4.         ریاضیات دارای لایه‌های تجرید گوناگون است.
   • P.x.1.q.4.         موجودات مجرد هریک از لایه‌های مجرد ریاضی، دارای شبکه ارتباطی مخصوص به خود هستند.
2. شناسایی شبکه ارتباط مفاهیم و مهارت‌ها موجب عمیق‌تر شدن یادگیری می‌شود.
   • P.x.2.a.1.         نیاز به اعداد و حساب از نیازهای فطری بشر است.
   • P.x.2.c.1.          تفکر کلامی استنتاجی با سیستم شنوایی و تأثیرات آن در سیستم ادراک بشر مرتبط است.
   • P.x.2.d.1.         تفکر تصویری با سیستم بینایی و تأثیرات آن در سیستم ادراک بشر مرتبط است.
   • P.x.2.g.2.         نگاه موضعی و جزء به کل یکی از استراتژی‌های ادراک بشری است.
   • P.x.2.h.2.         نگاه سرتاسری و کل به جزء یکی از استراتژی‌های ادراک بشری است.
   • P.x.2.k.3.          شناسایی شبکه ارتباط مفاهیم و مهارت‌ها موجب عمیق‌تر شدن یادگیری می‌شود.
   • P.x.2.n.4.         مفاهیم و مهارت‌های ریاضی دارای لایه‌های تجرید هستند. شبکه ارتباط مفاهیم و شبکه ارتباط مهارت‌ها به هم مربوطند.
   • P.x.2.p.4.         ریاضیات برای آموزش تفکر مجرد مناسب است.
   • P.x.2.q.4.         موجودات مجرد هریک از لایه‌های مجرد ریاضی، دارای شبکه ارتباطی مخصوص به خود هستند.
   • P.x.2.s.4.          شناخت چگونگی ارتباط بین لایه‌های مجرد ریاضی می‌تواند ما را در شناخت انسان کمک کند.
3. شبکه ارتباطی به کشف و رسیدن به حقایقی که قبلاً نمی‌دانستیم و یا توجه نداشتیم، کمک می‌کند.
   • P.x.3.b.1.         تجرید در فطرت انسان است.
   • P.x.3.f.2.          گستره حساب روزبه‌روز توسعه می‌یابد و همراه با تکامل تمدن‌ها، مفهوم عدد رشد می‌کند.
   • P.x.3.i.3.          شبکه ارتباطی به کشف و رسیدن به حقایقی که قبلاً نمی‌دانستیم یا توجه نداشتیم کمک می‌کند.
   • P.x.3.k.3.          شناسایی شبکه ارتباط مفاهیم و مهارت‌ها موجب عمیق‌تر شدن یادگیری می‌شود.
   • P.x.3.l.3.          ادراک موضعی را که بر استنتاج و استدلال استوار است می‌توان با مدل‌های ریاضی بر شهود استوار نمود.
   • P.x.3.m.3.        شبکه ریاضیات مانند درختی است که هم از ریشه رشد می‌کند و هم از شاخه و برگ توسعه می‌یابد.
   • P.x.3.n.4.         مفاهیم و مهارت‌های ریاضی دارای لایه‌های تجرید هستند. شبکه ارتباط مفاهیم و شبکه ارتباط مهارت‌ها به هم مربوطند.
   • P.x.3.o.4.         ریاضیات دارای لایه‌های تجرید گوناگون است.
   • P.x.3.r.4.          شواهدی داریم که ارتباط بین مفاهیم مجرد در ریاضیات بسیار شبیه ارتباط بین مفاهیم مجرد در الهیات است.
   • P.x.3.s.4.          شناخت چگونگی ارتباط بین لایه‌های مجرد ریاضی می‌تواند ما را در شناخت انسان کمک کند.
4. شبکه ریاضیات مانند درختی است که هم از ریشه رشد می‌کند و به عمق می‌رود و هم از شاخه و برگ.
   • P.x.4.a.1.         نیاز به اعداد و حساب از نیازهای فطری بشر است.
   • P.x.4.b.1.         تجرید در فطرت انسان است.
   • P.x.4.f.2.          گستره حساب روزبه‌روز توسعه می‌یابد و همراه با تکامل تمدن‌ها، مفهوم عدد رشد می‌کند.
   • P.x.4.i.3.          شبکه ارتباطی به کشف و رسیدن به حقایقی که قبلاً نمی‌دانستیم یا توجه نداشتیم کمک می‌کند.
   • P.x.4.k.3.          شناسایی شبکه ارتباط مفاهیم و مهارت‌ها موجب عمیق‌تر شدن یادگیری می‌شود.
   • P.x.4.m.3.        شبکه ریاضیات مانند درختی است که هم از ریشه رشد می‌کند و هم از شاخه و برگ توسعه می‌یابد.
   • P.x.4.o.4.         ریاضیات دارای لایه‌های تجرید گوناگون است.
   • P.x.4.p.4.         ریاضیات برای آموزش تفکر مجرد مناسب است.
   • P.x.4.q.4.         موجودات مجرد هریک از لایه‌های مجرد ریاضی، دارای شبکه ارتباطی مخصوص به خود هستند.
   • P.x.4.r.4.          شواهدی داریم که ارتباط بین مفاهیم مجرد در ریاضیات بسیار شبیه ارتباط بین مفاهیم مجرد در الهیات است.